Суммы Дарбу и их свойства

P = {a = x₀ < x₁< x₂ <...< x_n-1 < x_n = b}

N_I = sup f(x) x Î [x_I-1,x_I]

n_I = inf f(x) x Î [x_I-1,x_I]

C(P) = S_1...K N_ID(x_I) - верхняя сумма Дарбу

c(P) = S_1...K n_ID(x_I) - нижняя сумма Дарбу

m_I Î [x_I-1,x_I]; n_I £ f(m_I) £ N_I; c(P) £ s(P,M) £ C(P), M Î midP

Th: sup s(P,M) = C(P), M Î midP & inf s(P,M) = c(P), M Î midP

Доказательство:

a) c(P) = S_1...K n_ID(x_I) = S_1...K inf f(x)D(x_I), где x Î [x_I-1,x_I]

S_1...K inff(x)D(x_I) = inf S_1...K f(x)D(x_I) = inf s(P,M)

б) C(P) = S_1...K N_ID(x_I) = S_1...K sup f(x)D(x_I), где x Î [x_I-1,x_I]

S_1...K sup f(x)D(x_I) = sup S_1...K f(x)D(x_I) = sup s(P,M)

Лемма1: Пусть P<Q, тогда a) C(P) ³ C(Q) б) c(P) £ c(Q)

P = {x₀ < x₁<... < x_I-1 < x_I <...< x_n-1 < x_n}; Q = {x₀ < x₁<... < x_I-1 < x’ < x_I’<...< x_n-1 < x_n}

a) C(P) = M₁D(x₁) + M₂D(x₂) +...+ M_I-1D(x_I-1) + M_ID(x_I) +...+ M_ND(x_N)

C(Q) = M₁D(x₁) + M₂D(x₂) +...+ M_I-1D(x_I-1) + M’D(x’) + M_I’D(x_I’) +...+ M_ND(x_N)

M_I = sup f(x), x Î [x_I-1,x_I]

M’ = sup f(x), x Î [x_I-1,x’] £ M_I

M_I’ = sup f(x), x Î [x’,x_I-1] £ M_I

Таким образом M’D(x’) + M_I’D(x_I’) £ M_ID(x_I), где D(x_I) = D(x’) + D(x_I’) => C(P) £ C(Q)

б) c(P) = M₁D(x₁) + M₂D(x₂) +...+ M_I-1D(x_I-1) + M_ID(x_I) +...+ M_ND(x_N)

c(Q) = M₁D(x₁) + M₂D(x₂) +...+ M_I-1D(x_I-1) + M’D(x’) + M_I’D(x_I’) +...+ M_ND(x_N)

M_I = inf f(x), x Î [x_I-1,x_I]

M’ = inf f(x), x Î [x_I-1,x’] ³ M_I

M_I’ = inf f(x), x Î [x’,x_I-1] ³ M_I

Таким образом M’D(x’) + M_I’D(x_I’) ³ M_ID(x_I), где D(x_I) = D(x’) + D(x_I’) => c(P) £ c(Q)

Лемма2: Пусть P и Q произвольные разбиения [a,b], тогда c(P) £ C(Q)

Доказательство: Пусть промежуток [a,b] разбит на части разбиением P составим для этого разбиения суммы Дарбу: c(P)=c1 и C(P)=C1. Рассмотрим теперь другое никак не связанное с первым разбиение Q и составим другие суммы Дарбу: c(Q)=c2 и C(Q) = C2. Требуется доказать что c1 < C2: объединим точки деления P и Q и получим новое разбиение S с суммами Дарбу c3 и C3. Так как S>Q и S>P, то по Лемме1 для разбиений P и S получим: c1 £ c3 £ C3 для разбиений Q и S получим:

C3 £ C2 => c1£C2 (c(P)£C(Q))