Д) Логические контрапримеры против эвристических

Альфа. Мне нравится Правило 5 [141] Дзеты так же, как и Правило 4 [142] Омеги. Мне нравился метод Омеги за то, что он искал локальные, а не глобальные контрапримеры, как раз те самые, которые первоначальными тре­мя правилами Ламбды[143] игнорировались как логически безобидные и, следовательно, эвристически неинтересные. Омега был ими побужден к изобретению новых мыслен­ных экспериментов: реальный прогресс в нашем знании!

Теперь Дзета вдохновляется контрапримерами, кото­рые одновременно являются и локальными, и глобальны­ми — прекрасными подтверждениями с логической, но не с эвристической точки зрения; хотя они и подтверждения, но все же призывают к действию. Дзета предлагает рас­пространить, сделать усложненным наш первоначальный мысленный эксперимент, превратить логические под­тверждения в эвристические, логически удовлетворитель­ные примеры в такие, которые будут удовлетворительны­ми и с логической, и с эвристической точки зрения.

И Омега, и Дзета стоят за новые идеи, тогда как Ламбда, и особенно Гамма, заняты лишь лингвистическими трюками с их неуместными глобальными, но не локальны­ми контрапримерами — единственными существенными с их причудливой точки зрения.

Тета. Так что же, логическая точка зрения будет «причуднической»?

Альфа. Если это ваша логическая точка зрения, то да. Но я хочу сделать еще одно замечание. Увеличивает ли дедукция содержание или нет — заметьте, что она, ко­нечно, это делает — она, по-видимому, наверняка гаранти­рует непрерывный рост знания. Мы начинаем с одной вершины и заставляем знание расти насильствен­но и гармонически для выяснения соотношения между числами вершин, ребер и граней какого угодно многогранни­ка: чистый не драматический рост без опровержений!

Тета. (Каппе). Разве Альфа потерял способность суждений? Начинают с задачи, а не с вершины[144]!

Альфа. Эта постепенная, но неодолимо победоносная кампания приведет нас к теоремам, которые «не являются сами по себе очевидными, но только выведены из истин­ных и известных принципов при помощи постоянного и непрерывающегося действия ума, который отчетливо ви­дит каждый шаг процесса» [145]. Эти теоремы никак не мо­гут быть получены «беспристрастным» наблюдением и внезапной вспышкой интуиции.

Тета. В этой окончательной победе я все же сомне­ваюсь. Такого рода рост никогда не приведет нас к ци­линдру — так как (1) начинает с вершины, а у цилиндра их нет. Также, может быть, мы никогда не достигнем од­носторонних многогранников или многогранников с боль­шим числом измерений.

Это постепенное непрерывное распространение вполне может остановиться на какой-нибудь точке и вам придет­ся ждать нового революционного толчка. И даже такая «мирная непрерывность» полна опровержений и критики! Что заставляет нас идти от (4) к (5), от (5) к (6) и от (6) к (7), как не постоянное давление контрапримеров, являю­щихся и глобальными, и локальными? В качестве подлин­ных контрапримеров Ламбда принимал только такие, кото­рые являются глобальными, но не локальными: они обна­руживают ложность теоремы. Правильно оцененным Альфой было нововведение Омеги — в качестве подлин­ных контрапримеров рассматривать и такие, которые яв­ляются локальными, но не глобальными: они обнаружива­ют, что теорема бедна истиной. Теперь Дзета совету­ет нам считать подлинными и такие контрапримеры, кото­рые являются и глобальными, и локальными: они тоже обнаруживают у теоремы бедность истиной. Нап­ример, картинные рамы для теоремы Коши будут и гло­бальными, и локальными контрапримерами: они, конечно, будут подтверждениями, если рассматривать одну толь­ко истину, но опровержениями, если рассматривать содержание. Мы можем первые (глобальные, но не ло­кальные) контрапримеры назвать логическими, а остальные — эвристическими контрапримерами. Но чем больше мы признаем опровержений — логи­ческих или эвристических — тем быстрее растет знание. Логические контрапримеры Альфа считает неуместными, а эвристические контрапримеры вообще отказывается на­зывать контрапримерами и все по причине его одержимо­сти идеей, что рост математического знания непрерывен и критика не играет никакой роли.

Альфа - Понятие об опровержении и понятие о критике вы искусственно распространяете только для того, чтобы оправдать вашу критическую теорию роста знания. Разве лингвистические хитрости могут быть орудиями фи­лософов?

Пи. Я думаю, что обсуждение образования понятий поможет нам выяснить исход спора.

Гамма. Мы все навострили уши.