Г) Увеличение содержания путем дедуктивного угадывания

Учитель. Достаточно предварительных замечаний. По­смотрим ваш вывод.

Дзета. Хорошо, сэр. Я беру два закрытых нормаль­ных многогранника (рис. 20,а) и склеиваю их вместе по многоугольному обводу так, чтобы исчезли две склеиваю­щиеся грани (рис. 20, б). Так как для двух многогранников V—E+F=4, то исчезновение двух граней в соединенном многограннике восстановит формулу Эйлера — ничего уди­вительного после доказательства Коши, так как новый многогранник может быть легко раздут в шар. Таким об­разом, формула хорошо выдерживает это испытание при­клеиванием. Но попробуем теперь испытать двойное при­клеивание: склеим вместе два многогранника по двум мно­гоугольным обводам (рис. 20, в). Теперь исчезнут 4 грани и для нового многогранника V—E+F = 0.

Рис. 20

Гамма. Это контрапример 4 Альфы, картинная рама!

Дзета. Теперь если при помощи «двойного приклеи­вания» я прикреплю к этой картинной раме (рис. 20, в) еще один нормальный многогранник (рис. 21,а), то V — Е + F будет —2 (рис. 21,б).

Сигма. Для моносфероидального многогранника V—E+F=2, для дисфероидального V—E+F = 0, для трисфероидального V — Е + F = — 2, для n-сфероидаль­ного V — E + F = 2—2*(n-1)...

Дзета....что представляет вашу новую догадку с со­держанием, бывшим еще неизвестным, полную и с дока­зательством и без составления какой-нибудь таблицы[130].

Рис. 21

Сигма. Это действительно прекрасно. Вы не только объяснили упорную картинную раму, но вы создали еще бесконечное множество новых контрапримеров...

Дзета. С полным объяснением.

Ро. Я как раз пришел к тому же результату другим путем. Дзета начал с двух эйлеровых примеров и превра­тил их в контрапример, контролируя экспериментом. Я начинаю с контрапримера и превращаю его в пример. Я сделал следующий умственный эксперимент с картинной рамой: «Пусть многогранник будет из какого-нибудь мате­риала, который легко режется как мягкая глина; пропус­тим нитку через туннель, а затем через глину. Многогран­ник не распадется[131]... Но он сделается знакомым, про­стым сфероидальным многогранником! Это верно, мы уве­личим число граней на 2, а числа и ребер и вершин на m; но так как мы знаем, что эйлерова характеристика просто­го многогранника равна 2, то первоначальный должен был иметь характеристику 0. Теперь, если для того чтобы сде­лать многогранник простым, необходимо большее число, скажем n, таких разрезов, то его характеристика будет 2-2*n.

Сигма. Это интересно. Дзета уже показал нам, что мы можем не нуждаться в догадке для начала доказа­тельства, что мы можем непосредственно произвести синтез, т. е. доказательный умственный эксперимент над близким предложением, которое, как мы знаем, явля­ется верным. Теперь Ро показывает, что мы можем обой­тись без догадки даже для начала испытания, но, предполагая, что результат уже имеется, мы можем заняться придумыванием анализа, т. е. проверочного мысленного эксперимента[132].

Омега. Однако какой бы путь вы ни выбрали, все еще остаются кучи необъясненных многогранников. По вашей новой теореме для всех многогранников V—E + F будет четным числом, меньшим 2. Но мы видели также несколько многогранников с нечетными эйлеровыми характеристиками. Возьмите увенчанный куб (рис. 12) с V-E+F=1...

Дзета. Я никогда не говорил, что моя теорема прило­жима ко всем многогранникам. Она применима только ко всем n-сфероидальным многогранникам, построенным согласно моей конструкции. В настоящем ее состоянии она не приводит к кольцеобразным граням.

Рис. 22

Омега. Да?

Сигма. Я знаю! Ее можно распространить и на мно­гогранники с кольцеобразными гранями: можно построить кольцеобразный многоугольник, уничтожив ребро в рож­денной доказательством подходящей системе многоугольников, не изменяя числа граней (рис. 22, а и 22, б). Я думаю, не существуют ли также «нормальные» системы много­угольников, построенные в согласии с нашим доказательст­вом, в которых можно уничтожить даже более одного реб­ра, не уменьшая числа граней...

Гамма. Это правда. Посмотрите на такую «нормаль­ную» систему многоугольников (рис. 23,а). Вы можете уничтожить два ребра, не уменьшая числа граней (рис. 23,б).

Сигма. Хорошо! Тогда вообще

для n-сфероидальных, или n-связных, многогранников с l_k ребрами, которые можно уничтожить без уменьшения числа граней.

Бета. Эта формула объясняет мой увенчанный куб (рис. 12), моносфероидальный многогранник (с n=1) с од­ной кольцеобразной гранью: все l_k равны нулю, кроме l₁, которое будет 1, или:

следовательно, V-E+F=1.

Сигма. Она также объясняет ваш «иррациональный» эйлеров каприз: куб с двумя кольцеобразными гранями и туннелем (рис. 16). Это дисфероидальный многогранник (n = 2) с

Следовательно, его характеристика будет V-E+F=2-2+2=2. В мире многогранников восста­новлен моральный порядок[133]

Омега. А как для многогранников с полостями?

Сигма. Я знаю! Для них нужно сложить эйлеровы характеристики каждой отдельной несвязанной поверхно­сти[134],

Бета. А тетраэдры-близнецы?

Сигма. Я знаю!..

Гамма. Какой смысл всей этой точности? Останови­те этот поток претенциозных тривиальностей![135]

Альфа. А почему должен он прекратиться? Разве тетраэдры-близнецы — монстры, а не настоящие много­гранники? Тетраэдр-близнец такой же хороший много­гранник, как и ваш цилиндр! Но вам нравилась лингвистическая точность[136]. Почему же вы осмеивае­те нашу новую точность? Мы должны добиться, чтобы теорема охватила все многогранники; делая ее точной, мы увеличиваем, а не уменьшаем ее содержание. В этом случае точность будет добродетелью!

Каппа. Скучные добродетели так же плохи, как и скучные пороки! Кроме того, вы никогда не достигнете полной точности. Мы должны остановиться там, где нам перестанет быть интересным идти дальше.

Альфа. Моя точка зрения иная. Мы начали с поло­жения

(1): одна вершина есть одна вершина.

Отсюда мы вывели

(2): V=E для всех совершенных многоугольников.

Отсюда мы вывели

(3):V — E + F=1 для всех нормальных открытых сис­тем многоугольников.

Отсюда

(4):V—E+F=2 для всех нормальных закрытых сис­тем многоугольников, т. е. для многогранников.

Отсюда, по очереди, снова

(5): F — Е + F = 2— 2 (n — 1) для нормальных n-сферо­идальных многогранников.

для нормальных n-сфероидальных многогранников с многосвязными гранями,

для нормальных n-сфероидальных многогранников с многосвязными гранями и полостями.

Разве это не чудесное раскрытие скрытых богатств, со­державшихся в тривиальной исходной точке? И так как (1) несомненно истинно, то также будет и остальное.

Ро (в сторону). Скрытые «богатства»? Два последних пункта показывают только, как дешево можно получить обобщения[137].

Ламбда. Вы серьезно думаете, что (1) является единственной аксиомой, из которой вытекает все осталь­ное? Что дедукция увеличивает содержание?

Альфа. Конечно! Разве это не чудо дедуктивного мысленного эксперимента? Если вы уж схватили малень­кую истину, то дедукция неизбежно развернет ее в дерево познания[138]. Если дедукция не увеличивает содержания, то я назвал бы ее не дедукцией, но «проверкой»; проверка отличается от истинного доказательства как раз тем, что она бывает чисто аналитической и также бесплодной[139].

Ламбда. Но, конечно, дедукция не может увеличить содержания. Если критика устанавливает, что заключение богаче предпосылок, то нам нужно усилить предпосылки, выявив скрытые леммы.

Каппа. А эти скрытые леммы содержат софистич-ность и погрешимость и в конце концов уничтожают миф о непогрешимой дедукции[140].

Учитель. Есть еще вопросы относительно метода Дзеты?