В) Дедуктивная догадка против наивной догадки

Дзета. Начинать? Зачем я должен начинать? Мой ум не пуст, когда я открываю (или изобретаю) задачу.

Учитель. Не дразните Бету. Вот задача: имеется ли соотношение между числами вершин, ре­бер и граней многогранника, аналогичное тривиальному соотношению между числами вершин и сторон многоугольника V=E? [119] Как вы приметесь за эту задачу?

Дзета. Прежде всего я не имею стипендии от прави­тельства для производства подробной описи многогранни­ков, а также не обладаю армией ассистентов для подсчета их вершин, ребер и граней и составления таблиц по этим данным. Но если бы даже все это у меня было, я не имел бы терпения — или интереса — испытывать пригодность одной формулы за другой.

Бета. Что же тогда? Вы ляжете на диван, закроете глаза и забудете о данных?

Дзета. Так точно я и сделаю. Чтобы начать, мне нужна идея, а не какие-либо данные.

Бета. А откуда вы возьмете идею?

Дзета. Она уже имеется в нашем уме, когда мы фор­мулируем задачу; фактически она имеется уже в самой формулировке задачи.

Бета. Какая же идея?

Дзета. Та, что для многоугольника V=E.

Бета. Ну так что же?

Дзета. Задача никогда не приходит с неба. Она все­гда связана с нашим земным знанием. Мы знаем, что для многоугольников V = Е. Теперь многоугольник есть система многоугольников, состоящая из одного единственного многоугольника. Многогранник есть система многоуголь­ников, состоящих более чем из одного многоугольника. Но для многогранников V¹E. В каком пункте отношение V=E отказалось служить при переходе от монополиго­нальных систем к полиполигональным? Вместо того чтобы собирать данные, я прослежу, как эта задача возникла на основе нашего земного знания, или каковы были ожида­ния, опровержение которых представило эту задачу.

Рис. 17

Сигма. Правильно. Последуем вашим рекомендаци­ям. Для всякого многоугольника Е—V = 0 (рис. 17, а). Что случится, если я прикреплю к нему другой многоугольник (необязательно в той же плоскости)? Добавляемый мно­гоугольник имеет n₁ сторон и n₁ вершин; если мы прикре­пим его к первоначальному по цепочке из n₁' ребер и n₁'+1 вершин, то мы увеличим число ребер на n₁— n₁', а число вершин на n₁— (n₁' + 1); значит, в новой 2-полигональной системе получится избыток в числе ребер над числом вершин: Е — V = 1 (рис. 17,6); необычное, но совершенно допустимое прикрепление мы видим на рис. 17, в. «Прикреп­ление» новой грани к системе будет всегда увеличивать этот избыток на единицу; следовательно, для построенной таким образом F-полигональной системы будет всегда E—V=F—1.

Бета. Или V—E + F=1.

Ламбда. Но ведь это неверно для большей части полигональных систем. Возьмите куб...

Сигма. Но мое построение может привести только к «открытым» полигональным системам — ограниченным цепочкой ребер. Мой мысленный эксперимент я могу легко распространить на «закрытую» полигональную систему без такой границы. Это закрытие может быть произведено, если мы такую сосудообразную систему покроем много­угольником — крышкой; прикрепление такого покрываю­щего многоугольника увеличит F на единицу без измене­ния V или Е...

Дзета. Итак, для закрытой полигональной системы — и закрытого многогранника,— построенной таким обра­зом, V—E+F=2; догадка, которую мы теперь получили без «наблюдения» числа вершин, ребер и граней одного многогранника!

Ламбда. И теперь вы можете применить метод дока­зательств и опровержений без какой-нибудь «индуктив­ной отправной точки».

Дзета. С той разницей, что вам уже не надо будет выдумывать доказательство — оно уже получилось гото­вым. Вы можете продолжать непосредственно с опровер­жениями, анализом доказательства, образованием теоремы.

Ламбда. Тогда в вашем методе — вместо наблюде­ний— доказательство предшествует наивной догадке[120].

Дзета. Ну, я не назвал бы «наивным» предположение, которое выросло из доказательства. В моем методе нет места для индуктивных наивностей.

Бета. Есть возражение! Вы только отодвинули назад наивное индуктивное начало: вы же начали с «V=E для многоугольников». Разве вы не основываете это на наблю­дениях?

Дзета. Как большинство математиков, я не умею счи­тать. Я только что попытался сосчитать стороны и верши­ны у семиугольника; сначала я нашел 7 сторон и 8 вер­шин, а затем, второй раз, 8 сторон и 7 вершин...

Бета. Шутки в сторону, как вы получили V=E?

Дзета. Я был глубоко потрясен, когда впервые понял, что для треугольника V—E=0. Я, конечно, хорошо знал, что для одного ребра V — Е = 1 (рис. 18,а). Я знал также, что присоединение новых ребер всегда увеличивает на единицу и число ребер и число вершин (рис. 18,6 и 18,в). Почему же тогда в полигональных системах ребер будет V — Е = 0? Потом я понял, что это получается вследствие перехода от открытой системы ребер (которая ограничи­вается двумя вершинами) к закрытой системе ребер (ко­торая не имеет такой границы), так как мы «закрываем» открытую систему, вставляя ребро без добавления новой вершины. Таким образом, я доказал, но не наблюдал, что для многоугольников будет V—Е = 0.

Бета. Ваша хитрость не поможет вам. Вы только еще дальше отодвинули назад индуктивную отправную точку; теперь обратимся к утверждению, что для всякого ребра V—Е = 1. Вы это доказали или наблюдали?

Дзета. Я доказал это. Я, конечно, знал, что для одной вершины V = 1 (рис. 19). Моей задачей было построить аналогичное соотношение...

Бета (яростно). Разве вы не наблюдали, что для точки V=1?

Дзета. А вы наблюдали это? (В сторону, к Пи.) Должен ли я сказать ему, что моей «индуктивной отправ­ной точкой» было пустое пространство? Что я начал с того, что «наблюдал» ничто?

Ламбда. Во всяком случае два пункта мы установили. Сначала Сигма аргументировал, что только благодаря исторической случайности можно прийти к наивной индуктивной догадке; если имеешь пе­ред собой реальный хаос фактов, то вряд ли сможешь под­вести их под изящную формулу. Затем Дзета показал, что для логики доказательств и опровержений мы совсем не нуждаемся ни в наивной догад­ке, ни в индуктивистской отправной точке.

Бета. Возражение! А как быть с теми прославленными наивными догадками, которым не предшествовали (или даже за которыми не следовали) доказательства, вроде догадки о четырех цветах, которая говорит, что че­тырех цветов вполне достаточно для того, чтобы раскра­сить любую карту, или догадки Гольдбаха? Ведь только благодаря историческим случайностям доказательства могут предшествовать теоремам, или может иметь место «де­дуктивная догадка» Дзеты; в других случаях первыми бы­вают наивные индуктивные догадки.

Учитель. Мы, конечно, должны усвоить оба эври­стических образца; дедуктивная догадка является самой лучшей, но наивная догадка лучше, чем отсут­ствие всякой догадки. Но наивная догадка - не ин­дукция; такие вещи, как индуктивные догад­ки, не существуют!

Бета. Но ведь мы нашли наивную догадку при помо­щи индукции! «Это значит, что она была внушена на­блюдением, указана особыми событиями... И среди част­ных случаев, которые мы рассмотрели, мы могли разли­чить две группы: те, которые предшествовали формули­ровке догадки, и те, которые появились потом. Первые подсказали догадку, вторые поддержали ее. Оба ряда случаев произвели некоторого рода контакт между догадкой и «фактами»...[121] Этот двойной контакт и пред­ставляет сердце индукции; первый создает индуктив­ную эвристику, второй дает индуктивное оправдание, или индуктивную логику.

Учитель. Нет! Факты не подсказывают догадок и тем более не поддерживают их!

Бета. Тогда что же подсказало мне F—E+F=2, если не факты, собранные в моей таблице?

Учитель. Я скажу вам. Вам самим несколько раз не удавалось подвести их под формулу[122]. Произошло следую­щее: у вас были три или четыре догадки, которые по оче­реди были быстро отвергнуты. Ваша таблица была постро­ена в процессе проверки и опровержения этих догадок. Эти мертвые и теперь уже забытые догадки подсказали факты, а не факты подсказали догадки. Наивные догадки не являются индуктивными догадками; мы приходим к ним путем испытаний и ошибок, через предположения и опровержения [123].

Но если вы думаете — неправильно,— что пришли к ним индуктивным путем от ваших таблиц, если вы верите, что чем длиннее таблица, тем больше догадок она подскажет и потом поддержит, то вы можете потратить даром свое время, собирая ненужные данные. Таким образом, проник­шись доктриной, что путь открытия ведет от фактов к до­гадкам и от догадки к доказательству (миф индукции), вы можете полностью забыть об эвристической альтерна­тиве: дедуктивном угадывании[124].

Математическая эвристика очень похо­жа на научную эвристику — не потому, что обе являются индуктивными, но потому, что обе характеризуются догадками, доказа­тельствами и опровержениями. Важная разница заключается в природе соответствующих догадок, доказа­тельств (в науке — объяснений) и контрапримеров[125].

Бета. Понимаю. Тогда наша наивная догадка никогда не была первой догадкой, «подсказанной» жесткими не­предположительными фактами; ей предшествовали многие «донаивные» догадки и опровержения. Логика догадок и опровержений не имеет исходной точки, но логика дока­зательств и опровержений имеет ее: она начинается с пер­вой наивной догадки, за которой должен последовать мысленный эксперимент.

Альфа. Может быть. Но тогда я не стал бы называть ее «наивной»[126].

Каппа (в сторону). Даже в эвристике нет такой ве­щи, как совершенная наивность.

Бета. Главное - как можно скорее выйти из периода испытаний и ошибок, быстро перейти к мысленным экспериментам, не имея слишком много «индуктивного» уважения к «фактам». Это уважение может задерживать рост знания. Представь­те себе, что при помощи испытаний и ошибок вы пришли к догадке V—E+F = 2 и что она будет сразу же отверг­нута наблюдением: для картинной рамы V — Е + F = 0. Если вы слишком уважаете факты, в особенности когда они опровергают ваши догадки, вы пойдете снова к до-наивным испытаниям и ошибкам и будете искать другую догадку. Но если вы обладаете лучшей эвристикой, то вы по крайней мере попытаетесь игнорировать неприят­ное испытание наблюдением и попробуете испытание мысленным экспериментом, вроде доказатель­ства Коши.

Сигма. Какая путаница! Зачем называть испыта­нием доказательство Коши?

Бета. Зачем называть испытанием доказа­тельство Коши? Это было испытание! Послушайте. Вы начали с наивной догадки: V—E + F=2 для всех мно­гогранников. Затем вы отсюда вывели следствие: «если на­ивная догадка справедлива, то после устранения одной гра­ни для оставшейся сети будет V—E+F = 1»; «если это следствие справедливо, то V—E+F=1, даже после триан­гуляции»; «если это последнее следствие справедливо, то V—E+F=1 будет справедливым, когда мы будем отни­мать треугольники по одному»; «если это верно, то V—Е + F = 1 для одного-единственного треугольника»...

Теперь это последнее заключение оказалось общеиз­вестным, истинным. Но что произошло бы, если бы мы за­ключили, что для единственного треугольника V—E+F = 0? Мы сразу же отвергли бы первоначальное предполо­жение как ложное. Все, что мы сделали, сводится к тому, что мы испробовали нашу догадку, а именно выводили из нее следствия. Испытание, по-видимому, подтвердило на­шу догадку. Но подтверждение еще не доказательство.

Сигма. Но тогда наше доказательство доказало даже еще меньше, чем мы думали! Тогда нам нужно обратить процесс и попытаться построить мысленный эксперимент, который идет в противоположном направлении: от треу­гольника назад к многограннику!

Бета. Это верно. Только Дзета показал, что вместо решения нашей задачи сначала путем создания наивной догадки при помощи испытаний и ошибок, затем провер­ки, затем обращения испытания в доказательство можно сразу же начать с реального доказательства. Если бы мы поняли возможность дедуктивного угадывания, то мы мог­ли бы избежать всей этой псевдоиндуктивной возни!

Каппа (в сторону). Что за драматическая серия по­воротов на 180°! Критически настроенный Альфа об­ратился в догматика, догматик Дельта в опровергателя, а теперь индуктивист Бета в дедуктивиста!

Сигма. Но подождите. Если за испытательным мысленным экспериментом...

Бета. Я назову его анализом...

Сигма...может всегда сразу последовать доказа­тельный мысленный эксперимент...

Бета. Я назову его синтезом...[127]

Сигма....то будет ли «аналитическая теорема» необ­ходимо тождественной с «синтетической»? Идя в противо­положном направлении, мы можем пользоваться другими леммами[128].

Бета. Если они будут другими, то синтетическая тео­рема должна заменить аналитическую; в конце концов анализ только испытывает, тогда как синтез дока­зывает.

Учитель. Ваше открытие, что наше «доказа­тельство» фактически было испытанием, как буд­то шокировало класс и отвлекло его внимание от вашего главного аргумента: именно, если мы имеем догадку, уже опровергнутую контрапримером, то мы должны отложить опровержение в сторону и попытаться испробовать догад­ку при помощи мысленного эксперимента. Таким путем мы могли бы напасть на доказательство, оставить фазу испытаний и ошибок и пустить в ход метод доказатель­ств и опровержений. Но ведь именно это и заставило меня сказать, что «я готов заняться „доказательством" ложного предположения»[129]. И тогда Ламбда потребовал в своем Правиле 1: «Если вы имеете какую-нибудь догадку, то попробуйте доказать ее и опровергнуть ее».

Дзета. Это верно. Но позвольте мне дополнить пра­вило Ламбды и Правило 4 Омеги так:

Правило 5. Если у вас есть контрапример любого типа, попробуйте при помощи дедуктивного гадания найти более глубокую теорему, для которой уже более не будет контрапримеров.

Омега. Вы теперь расширяете мое понятие «глуби­ны» и, может быть, вы и правы. Но как же быть с дейст­вительным применением нашего нового правила? До сих пор оно только давало нам результаты, которые мы уже знали. Легко быть мудрым после события. Ваше «дедук­тивное гадание» как раз представляет синтез, соответ­ствующий первоначальному анализу Учителя. Но те­перь вы должны быть честным — вы должны использовать ваш метод для нахождения догадки, которой вы еще не знали, с обещанным увеличением содержания.

Дзета. Правильно. Я начну с теоремы, рожденной моим мысленным экспериментом: «Все закрытые нормальные многогранники будут эйлеро­выми».

Омега. «Нормальные»?

Дзета. Я не желаю тратить времени на прохождение через метод доказательств и опровержений. Я просто на­зываю «нормальными» все многогранники, которые могут быть построены, исходя из «совершенного» многоугольни­ка, прикладывая к нему (а) первые F — 2 граней без из­менения V — Е + F (это будут открытые нормальные многогранники) и (б) наконец, закрывающую грань, кото­рая увеличивает V—E+F на 1 (и превращает откры­тый многогранник в закрытый).

Омега. «Совершенный» многоугольник?

Дзета. Под «совершенным» многоугольником я под­разумеваю такой, который может быть построен, исходя из одной-единственной вершины, прикладыванием к ней сна­чала n—1 ребер без изменения V—Е и, наконец, послед­него закрывающего ребра, которое уменьшает V—Е на 1.

Омега. Будут ли ваши закрытые нормальные много­гранники совпадать с многогранниками Коши?

Дзета. Я не желаю сейчас углубляться в это.