Физической статистики: вероятность, плотность вероятности, условие нормировки вероятности

Большинство событий в системе многих частиц (молекулярной системе) являются случайными. Закономерности, связанные со случайными величинами, изучаются теорией вероятности и математической статистикой. В теории вероятности [1,4] основным определением является частотное определение вероятности Р случайного события А:

(1.1)

где N_i – количество случаев, в которых наблюдается интересующий результат, N – общее число всех возможных случаев. Вероятность достоверного события (N_i = N) равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю.

В статистической физике вероятностью макроскопического состояния a системы называется величина Р_a [3,4]:

(1.2)

где Г₀ – общее число микросостояний, доступных для системы, Г_a - число микросостояний, приводящих к данному макросостоянию a. Г_a называют термодинамической вероятностью макроскопического состояния. Величины Г₀ и Г_a в ряде задач могут быть вычислены с помощью методов комбинаторики. Подробный вывод основных формул элементарной комбинаторики приведен в [3].

О г л а в л е н и е

Введение ……………………………………………………………3

Семинар 1. Элементы теории вероятности и

физической статистики: вероятность, плотность

вероятности, условие нормировки вероятности …………… 4

Семинар 2. Средние значения физических величин

и их флуктуации ……………………………………………….9

Семинар 3. Биномиальное распределение …………………..12

Семинар 4. Распределение Гиббса …………………………. 15

Семинары 5, 6. Распределение Максвелла …………………18

Семинар 7 Распределение Больцмана ……………………….26

Семинар 8. Равнораспределение энергии по

степеням свободы. Теплоемкость многоатомных

идеальных газов и твердых тел.

Броуновское движение.………………………...……………30

Семинары 9, 10. Явления переноса …..……………………34

Справочный материал ………………..………………………….39

(1.8)

Знание плотности вероятности позволяет найти вероятность для любой области, в которой определена плотность.

Рис.1

На рис.1
представлен пример графического изображения плотности вероятности. Площадь заштрихованной полоски на рисунке равна вероятности dP(j) нахождения величины j в интервале [j; j+dj]. Площадь под всей кривой f(j) есть вероятность нахождения величины j в интервале [j₀;j₁], которая всегда постоянна, равна 1 или 100% и определяет условие нормировки плотности вероятности.

(1.9)

Часто условие нормировки записывают для интервала значений j [0, ∞) или (-∞, +∞), полагая, что за пределами конечного интервала [j₀,_,j₁] плотность вероятности равна нулю.

Условие нормировки вероятности дискретно изменяющейся переменной j, которая может принимать n различных значений j_i с соответствующей вероятностью P_i, записывается так:

(1.10)

Выражения (1.9) и (1.10) являются следствием теоремы сложения вероятностей для несовместных событий [1,4].

9.8. ,

.