Блочные матрицы

Если разделить некоторую матрицу А на части вертикальными и горизонтальными прямыми, то получаются прямоугольные ячейки, являющиеся сами по себе матрицами. Эти ячейки называются блоками матрицы. Сама матрица А может рассматриваться как таблица, элементами которой являются более мелкие таблицы : . При таком построении матрица А составляется из блоков и поэтому называется блочной.

Например, матрицу

разобьем на следующие блоки

и обозначим их

, ,

, .

Тогда матрицу А можно записать в виде блочной матрицы, элементами которой будут эти матрицы :

.

Матрицу А на блоки можно разбить иным способом

.

Тогда блоками матрицы будут

, , ,

, , ,

, , .

Тогда блочная матрица А будет иметь вид

.

Нетрудно видеть, что для составления блочной матрицы из серии матриц (блоков) необходимо, чтобы подмножества матриц с одинаковыми значениями индекса имели одинаковое количество строк, а подмножества матриц с одинаковым значением индекса – одинаковое значение столбцов.

Пример. Указанным требованиям удовлетворяют следующие четыре матрицы:

, ,

, .

Поэтому из них можно составить блочную матрицу

.

Основное свойство блочной матрицы состоит в том, что операции над блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и операции над обычными матрицами.

При сложении блочных матриц: размеры слагаемых блочных матриц должны быть одинаковы; размеры отдельных блоков с равными индексами у слагаемых матриц должны бать одинаковы.