Критерий линейной зависимости (теорема)

Строки (столбцы) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один) из них являются линейными комбинациями остальных.

Следствия.

Пусть строки (столбцы) линейно независимы, а хотя бы одна из строк (столбцов) является их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) , линейно зависимы.

Столбцы

,

в которых на i – том месте стоит единица, а остальные элементы равны нулю

являются линейно независимыми. Действительно, равенство

можно записать подробнее так

Отсюда видно, что равенство выполнимо, если

Следствия: произвольный столбец высотой n может быть разложен по столбцам .

Действительно, в качестве коэффициентов линейной комбинации нужно взять элементы раскладываемого столбца.

Столбцы (строки) единичной матрицы линейно независимы и обладают тем свойством, что каждый столбец (строка) с тем же числом элементов раскладывается по ним.

В данном случае столбцы . Аналогичны и строки.