Свойства операции умножения

1. Умножение ассоциативно, т. е.

.

2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц, т.е.

.

3. А*Е=Е*А=А, где Е – единичная матрица (для квадратной матрицы А порядка n матрица Е также имеет порядок n).

4. Для любой квадратной матрицы А порядка n и нулевой матрицы О порядка n выполняется равенство А*О=О.

5. Для любых матриц А и В типов m×n и n×k выполняется равенство , т.е. транспонирование произведения двух матриц равно произведению в обратном порядке транспонированных матриц:

.

Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения матрицы в натуральную степень:

.

Две степени и одной и той же квадратной матрицы являются матрицами одного порядка и перестановочными .

Нулевая степень квадратной матрицы , где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Введенная степень матрицы позволяет для квадратной матрицы вычислять выражения вида

,

где - действительные числа, т.е. многочлены от матричного аргумента.

Пример. Вычислим значение квадратного трехчлена для квадратной матрицы

.

Поскольку , то .

Вычислив

,

находим

.