Лекция 1. Матрицы и действия над ними

Лекция 1. Матрицы и действия над ними.

Основные понятия и определения.

Матрицы впервые появились в середине 19-го века в работах английских математиков У. Гамильтона (1809-1865) и А.Кэли (1821-1895).

Примечание: Уильям Гамильтон – ирландский математик, иностранный член – корреспондент Петербургской Академии Наук (1837);

Артур Кэли (Кейли) – английский математик, иностранный член – корреспондент Петербургской Академии Наук (1870).

В настоящее время матрицы широко используются в прикладной математике, в частности, представляют собой удобный аппарат для компактной записи и последующего исследования и решения систем линейных уравнений.

Матрицей типа (размера) называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из чисел, которые расположены в m строках и n столбцах.

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Их обозначают строчными буквами с двумя индексами, например, , где i- номер строки (), j- номер столбца (), в которых расположен этот элемент.

Матрицы обозначают

Иногда используют обозначение матриц:

Соответственно элементы матрицы обозначаются , где i- номер строки; j- номер столбца.

Сокращенные обозначения:

Используется также обозначение .

Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой А, В и т.д. При необходимости указать тип (размер) матрицы используют обозначения Используется также обозначение или

Набор называется i-й строкой матрицы А, набор

называется j- м столбцом матрицы А.

Рядом матрицы называется строка или столбец.

Элемент матрицы, стоящий в i-той строке и j- том столбце может также обозначаться . Чаще обозначается .

Элементами матрицы могут быть не только действительные числа, но и комплексные, и даже другие математические объекты: функции, многочлены, матрицы, например:

Мы будем рассматривать только числовые матрицы, т.е. матрицы, составленные из действительных чисел. Множество всех числовых матриц типа m×n, элементами которых являются действительные числа, обозначаются . Здесь - обозначение множества действительных чисел ( - множество комплексных чисел).

Если матрица имеет тип 1×n, т.е. у матрицы всего одна строка , то матрицу называют матрицей - строкой. Индекс строки можно опустить . Число элементов в матрице- строке называют ее длиной: n- длина матрицы- строки.

Если матрица имеет тип m×1, т.е. у матрицы один столбец

,

то ее называют матрицей- столбцом. Число элементов в матрице- столбце называют ее высотой. Индекс столбца можно опустить

.

Матрицу- строку и матрицу- столбец можно обозначать и .

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-строка или вектор – столбец соответственно).

Матрица размера 1×1, состоящая из одного числа отождествляется с этим числом, т.е. (5)_1×1 есть 5.

Иногда бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк или как строку из столбцов.

Пусть

векторы - столбцы матрицы А.

Пусть

векторы - строки матрицы А.

Тогда матрицу А можно записать в виде столбца из строк

,

или в виде строки из столбцов

.

Подматрицей матрицы А размера m×n называется матрица A^' размера r×s, составленная из элементов матрицы А, находящихся на пересечении выбранных r строк и s столбцов. Номера выбранных строк и столбцов должны следовать в порядке возрастания.

Пример 1.

(строк r=3, столбцов s=4), подматрица матрицы А будет иметь вид

.

Пример 2.

.

Подматрица, состоящая из трех строк и двух столбцов, в данном случае имеет вид

.

Квадратной матрицей порядка n называется матрица, которая имеет столько же столбцов, сколько и строк m=n

Порядок – это число строк (столбцов) квадратной матрицы.

При m≠n – матрица прямоугольная.

Последовательность элементов квадратных матриц называется главной диагональю. Элементы главной диагонали называются диагональными.

Последовательность элементов квадратных матриц называется побочной диагональю.

Понятие главной диагонали и диагонального элемента распространяется и на прямоугольные матрицы.

Пример.

.

Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы кроме элементов главной диагонали, равны нулю

.

Обозначается .

Единичная матрица – диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице. Обозначается буквой Е, или I

Нулевая матрица – прямоугольная матрица типа m×n, все элементы которой равны нулю. Обозначается буквой Θ или O

.

Верхняя треугольная матрица – квадратная матрица, у которой элементы, расположенные под главной диагональю равны нулю.

Нижняя треугольная матрица – квадратная матрица, у которой элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.

Пример.

Трехдиагональные матрицы – квадратные матрицы, у которых ненулевыми элементами могут быть лишь диагональные и соседние с ними в строке (или в столбце).

Пример.

.

Верхняя трапециевидная матрица – прямоугольная матрица, у которой элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю.

Нижняя трапециевидная матрица – прямоугольная матрица, у которой элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.

Пример.

, .

Ступенчатая матрица (матрица ступенчатого вида) – прямоугольная матрица типа m×n, если для любой ее строки выполняется условие: под первым слева ненулевым элементом строки и под предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.

Примеры.

,

, , .

С точки зрения программирования матрицы – это двумерные массивы чисел.