Постановка задачи. Пусть задана функция . Часто нахождение значений этой функции может оказаться трудоемкой задачей

Пусть задана функция . Часто нахождение значений этой функции может оказаться трудоемкой задачей. Например, - параметр в некоторой сложной задаче, после решения которой определяется значение f(x), или f(x) измеряется в дорогостоящем эксперименте. В этих случаях можно получить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение ее значений при большом количестве значений аргумента нереально. В такой ситуации f(x) заменяется приближенной формулой , которая в определенном смысле близка к функции f(x). Близость обеспечивается введением в функцию свободных параметров и их соответствующим выбором.

Итак, известны значения функции f(x) в точках

, . Потребуем, чтобы для некоторой функции

выполнялись равенства:

(1)

Если (1) рассматривать как систему для определения , то этот способ называется интерполяцией (Лагранжевой).

Если зависит от нелинейно, то интерполяция нелинейная, иначе интерполяция линейная. В случае линейной интерполяции можно записать

(2)

(где - система линейно-независимых функций)

Подставим (2) в (1). Относительно получаем линейную систему уравнений:

, (3)

Для однозначной разрешимости системы должно быть .

Для того, чтобы задача нтерполирования имела единственное решение, система функций должна для любых несовпадающих удовлетворять условию:

(4)

Система функций, удовлетворяющая условию (4), называется чебышевской.