Метод вращений

Метод вращения позволяет для симметрических матриц решать полную проблему собственных значений.

Сущность метода состоит в следующем.

Известно, что для симметрической матрицы A существует ортогональная матрица U такая, что

где - транспонированная к U матрица, а - диагональная матрица. Так как , то матрица подобна матрице A и, следовательно, имеет те же собственные значения, что и матрица A. Так как собственными значениями диагональной матрицы являются ее диагональные элементы, то зная U, мы можем найти все собственные значения матрицы A. Одновременно мы получим и все собственные векторы матрицы A, в качестве которых можно взять столбцы матрицы U.

Пусть , где мало отличается от диагональной матрицы, т. е. элементы вне главной диагонали малы. Тогда можно ожидать, что собственные числа матрицы будут близки к диагональным элементам матрицы , и можно принять за приближенные значения .

Таким образом, решение полной проблемы собственных значений сводится для симметрической матрицы A к нахождению ортогональной матрицы U, с помощью которой матрица A приводится к диагональному виду.

В методе вращения матрица U строится как предел последовательности произведений матриц простых поворотов, при которых все оси координат кроме двух остаются неподвижными. При этом матрицы простых поворотов подбираются так, чтобы при преобразовании матрицы с помощью матрицы простого поворота на каждом шаге уничтожался максимальный по модулю недиагональный элемент.

Итерационный процесс осуществляется следующим образом.

Пусть - матрица, полученная после k - го преобразования поворота.

В матрице находится максимальный по модулю элемент . Строится ортогональная матрица простого поворота вида

Угол подбирается так, чтобы у матрицы

элемент обратился бы в нуль. Найдем выражение для этого элемента.

Обозначим .

Матрица отличается от матрицы только столбцами с номерами и , причем последние имеют такой вид:

Матрица отличается от матрицы только строками с номерами i и j, причем эти строки имеют такой вид:

Таким образом,

Из требования, что , получаем

, т. е.

Процесс заканчивается, когда все внедиагональные элементы полученной на очередном шаге матрицы будут достаточно малы. Диагональные элементы этой матрицы являются приближениями для собственных чисел матрицы A, а столбцы матрицы приближениями для соответствующих собственных векторов.

Метод вращения является одним из самых удобных итерационных методов для определения собственных значений и собственных векторов симметрических матриц. Он прост по вычислительной схеме, быстро сходится, кратные и близкие собственные значения не вызывают никаких трудностей.

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ]