Метод Якоби

Координатная форма записи этого варианта итерационного метода имеет вид:

. (27)

Формулы (27) получаются непосредственно из исходной системы, если i - ое уравнение системы разрешить относительно неизвестного .

Подставляя сюда

,

получаем

или, в каноническом виде,

где - диагональная матрица.

В соответствии с теоремой 2 сходимость этого метода гарантирована, если положительны матрица A и матрица

Из положительности матрицы A вытекает, что ее диагональные элементы, а значит и диагональные элементы матрицы

больше нуля. При этом условии для положительности матрицы достаточно, чтобы она имела свойства диагонального преобладания .

Последнее равносильно тому, чтобы этим свойством обладала сама матрица A. Свойство диагонального преобладания матрицы A как достаточное условие сходимости метода Якоби возникает и в качестве следствия из теоремы 1.