4 страница. а) скалярное произведение векторов ;

Вычислить:

а) скалярное произведение векторов ;

б) модуль векторного произведения ;

в) работу, совершаемую силой на пути ;

г) проекцию вектора на вектор ;

д) площадь треугольника, построенного на векторах , если начало вектора помещено

в конец вектора .

№ 5. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁ (–3, 4, 7), A₂ (1, 5, –4),

A₃ (–5, –2, 0), A₄ (2, 5, 4). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 6. Найти проекцию вектора на ось, определяемую вектором , если

и заданы разложением по взаимно перпендикулярным ортам и .

№ 7. Найти неизвестную координату вектора , если составляет острый угол с осью,

одноименной неизвестной координате, и задан модуль вектора .

№ 8. Найти модуль вектора , если .

№ 9. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (4, 7, 5) и т. B (2, 0, –1).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 10. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (0, 2, –4),

B (8, 2, 2), C (6, 2, 4).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Вариант № 18

№ 1. Найти разложение вектора по векторам:

.

№ 2. Проверить, коллинеарны ли векторы , если

.

№ 3. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 4. Даны векторы: и число .

Вычислить:

а) скалярное произведение векторов ;

б) модуль векторного произведения ;

в) работу, совершаемую силой на пути ;

г) проекцию вектора на вектор ;

д) площадь треугольника, построенного на векторах , если начало вектора помещено

в конец вектора .

№ 5. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁ (–1, 2, –3), A₂ (4, –1, 0),

A₃ (2, 1, –2), A₄ (3, 4, 5). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 6. Найти проекцию вектора на ось, определяемую вектором , если

и заданы разложением по взаимно перпендикулярным ортам и .

№ 7. Найти неизвестную координату вектора , если составляет острый угол с осью,

одноименной неизвестной координате, и задан модуль вектора .

№ 8. Найти модуль вектора , если .

№ 9. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (–1, 0, –1) и т. B (4, 3, –4).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 10. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (3, 3, –1),

B (5, 1, –2), C (4, 1, 1).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Вариант № 19

№ 1. Найти разложение вектора по векторам:

.

№ 2. Проверить, коллинеарны ли векторы , если

.

№ 3. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 4. Даны векторы: и число .

Вычислить:

а) скалярное произведение векторов ;

б) модуль векторного произведения ;

в) работу, совершаемую силой на пути ;

г) проекцию вектора на вектор ;

д) площадь треугольника, построенного на векторах , если начало вектора помещено

в конец вектора .

№ 5. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁ (4, –1, 3), A₂ (–2, 1, 0), A₃ (0, –5, 1),

A₄ (3, 2, –6). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 6. Найти проекцию вектора на ось, определяемую вектором , если

и заданы разложением по взаимно перпендикулярным ортам и .

№ 7. Найти неизвестную координату вектора , если составляет острый угол с осью,

одноименной неизвестной координате, и задан модуль вектора .

№ 8. Найти модуль вектора , если .

№ 9. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (–2, –2, –3) и т. B (2, 4, 3).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 10. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (–4, 3, 0),

B (0, 1, 3), C (–2, 4, –2).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Вариант № 20

№ 1. Найти разложение вектора по векторам:

.

№ 2. Проверить, коллинеарны ли векторы , если

.

№ 3. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 4. Даны векторы: и число .

Вычислить:

а) скалярное произведение векторов ;

б) модуль векторного произведения ;

в) работу, совершаемую силой на пути ;

г) проекцию вектора на вектор ;

д) площадь треугольника, построенного на векторах , если начало вектора помещено

в конец вектора .

№ 5. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁ (1, -1, 1), A₂ (-2, 0, 3), A₃ (2, 1, -1),

A₄ (2, -2, -4). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 6. Найти проекцию вектора на ось, определяемую вектором , если

и заданы разложением по взаимно перпендикулярным ортам и .

№ 7. Найти неизвестную координату вектора , если составляет острый угол с осью,

одноименной неизвестной координате, и задан модуль вектора .

№ 8. Найти модуль вектора , если .

№ 9. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (4, 3, 1) и т. B (-3, 3, 5).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 10. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (7, 0, 2),

B (7, 1, 3), C (8, -1, 2).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Вариант № 21

№ 1. Найти разложение вектора по векторам:

.

№ 2. Проверить, коллинеарны ли векторы , если

.

№ 3. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 4. Даны векторы: и число .

Вычислить:

а) скалярное произведение векторов ;

б) модуль векторного произведения ;

в) работу, совершаемую силой на пути ;

г) проекцию вектора на вектор ;

д) площадь треугольника, построенного на векторах , если начало вектора помещено

в конец вектора .

№ 5. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁ (1, 2, 0), A₂ (1, –1, 2), A₃ (0, 1, –1),

A₄ (–3, 0, 1). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 6. Найти проекцию вектора на ось, определяемую вектором , если

и заданы разложением по взаимно перпендикулярным ортам и .

№ 7. Найти неизвестную координату вектора , если составляет острый угол с осью,

одноименной неизвестной координате, и задан модуль вектора .

№ 8. Найти модуль вектора , если .

№ 9. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (9, 2, 5) и т. B (–1, 3, 1).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 10. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (2, 3, 2),

B (–1, –3, –1), C (–3, 7, 3).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Вариант № 22

№ 1. Найти разложение вектора по векторам:

.

№ 2. Проверить, коллинеарны ли векторы , если

.

№ 3. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 4. Даны векторы: и число .

Вычислить:

а) скалярное произведение векторов ;

б) модуль векторного произведения ;

в) работу, совершаемую силой на пути ;

г) проекцию вектора на вектор ;

д) площадь треугольника, построенного на векторах , если начало вектора помещено

в конец вектора .

№ 5. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁ (1, 0, 2), A₂ (1, 2, –1), A₃ (2, –2, 1),

A₄ (2, 1, 0). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 6. Найти проекцию вектора на ось, определяемую вектором , если

и заданы разложением по взаимно перпендикулярным ортам и .

№ 7. Найти неизвестную координату вектора , если составляет острый угол с осью,

одноименной неизвестной координате, и задан модуль вектора .

№ 8. Найти модуль вектора , если .