Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

Функція, неперервна в замкненій області D, обов’язково має найбільше і найменше значення в цій області.

Найбільше і найменше значення неперервної в замкненій області функції досягають у внутрішніх точках області (або на межі області), збігаючись відповідно з максимальним або мінімальним значеннями функції.

Тому для пошуку найбільшого і найменшого значень функції в певній замкненій області треба знайти всі внутрішні критичні точки, обчислити в них значення функції, порівняти їх з найбільшим і найменшим значеннями функції на межі області. Найбільше і найменше з цих значень будуть найбільшим та найменшим значеннями неперервної функції в даній замкненій області.

Приклад 20.Знайти найбільше та найменше значення функції в області, обмеженій лініями .

Розв'язок:

.

Для знаходження стаціонарних точок прирівняємо до нуля частинні похідні даної функції. Одержимо систему рівнянь

Звідси маємо х =3/5, ' у=0, стаціонарна точка належить заданій області значення функції у ній дорівнює .

Критичними точками для заданої функції є і точки хорди , бо в цих точках . У всіх точках цієї хорди .

Дослідимо функцію на межі області, яка складається з частини параболи і хорди тієї ж параболи.

На параболі, рівняння якої , функція має вигляд , тобто на цій частині межі області задана функція дорівнює нулю .

На хорді, рівняння якої , функція має вигляд . Значення цієї функції в стаціонарній точці у=^;0 і в граничних точках , відповідно дорівнюють , , . Порівнюючи всі знайдені значення функції визначимо, що задана функція має найбільше значення (досягається в точці (2;0)) і найменше значення (досягається на хорді х=1 іна частині параболи ).