Повний диференціал функції багатьох змінних

Нехай функція z=f(х;y) має неперервні частинні похідні і у даній області, тоді її повний приріст ∆z у точці M(x;y) можна подати у вигляді:

, (3.11)

де і при і .

Означення 14. Функція z=f(х;y) називається диференційованою у точці M(x;y), якщо її повний приріст ∆z у даній точці можна подати у вигляді суми двох додатків: величини , лінійної відносно ∆х і ∆y та величини , нескінченно малої вищого порядку відносно . Головна лінійна частина приросту називається повним диференціалом цієї функції і позначається dz або df (x;y):

. (3.12)

Означення 15. Прирости незалежний змінних ∆х і ∆y називаються диференціалами незалежних змінних х і y та позначаються dх і dy відповідно.

Тоді повний диференціал (3.12) функції двох змінних має вигляд:

. (3.13)

Рівність (3.11), використовуючи (3.12), можна подати у вигляді:

. (3.14)

З точністю до нескінченно малої вищого порядку відносно можна записати наближену рівність:

∆z≈dz. (3.15)

Наближену формулу (3.15) запишемо у точці M₀(x₀;y₀):

або

(3.16)

Формулу (3.16) широко використовують у наближених обчисленнях.

Приклад 6. Знайти повний диференціал функції .

Спочатку знайдемо частинні похідні:

Використовуючи формулу (3.13), маємо

Приклад 7. Обчислити наближено .

Розглянемо допоміжну функцію . Щоб скористатись формулою (3.16), покладемо , . Тоді:

Знайдемо частинні похідні:

За формулою (3.16) маємо:

Отже, .