Похідна складеної функції

Похідна складеної функції Z = f (x, y), де x = x (t), y = y (t), t Î [ t ₀, t ₁] обчислюється за допомогою формули

(4.17)

Приклад 8. Знайти , якщо ,
.

Знайдемо

Тоді

Розглянемо більш складний випадок. Нехай Z = f (x, y), а x = x (u, v),
y = y (u, v). Тоді за формулою (4.17) дістанемо

(4.18)

Приклад 9. Нехай .

Знайти та .

Знайдемо

Тоді за допомогою формул (4.18) отримаємо:

Формули (4.17), (4.18) можна узагальнити і для функцій з більшою кількістю змінних.

Відповідним чином знаходяться диференціали складених функцій.

Оскільки

то використовуючи формули (4.18) отримаємо:

Звідки

(4.19)

де

Формули (3.13) та (4.19) мають однаковий вигляд незалежно від того, будуть х та у незалежними змінними чи диференційованими функціями змінних u i v.

5. ПОХІДНА НЕЯВНОЇ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Неявні функції можна записати у вигляді:

(5.20)

Питання про існування та диференційованість неявної функції n змінних розв’язується аналогічно до того, як це було зроблено для функцій однієї змінної, де, як відомо,

(5.21)

Нехай задано рівняння

F (x, y, z)=0. (5.22)

При знаходженні частинної похідної , або величина y вважається сталою. Тому з рівняння (5.22) за допомогою (5.21) дістанемо:

(5.23)

Для неявної функції (5.20) маємо:

i =1,2,…, n. (5.24)

Приклад 10. Знайти частинні похідні та повний диференціал функції
Z = f (x, y), якщо

З умови отримаємо:

Звідси

Тоді

Повний диференціал має вигляд:

.

6. ПОХІДНА ЗА НАПРЯМОМ

При розв’язанні багатьох прикладних задач використовується поняття скалярного поля. Це область простору, кожній точці якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини. Прикладами скалярного поля може бути поле температур тіла, поле атмосферного тиску і т. д.

Для того, щоб задати скалярне поле, досить задати скалярну функцію u (x, y, z). Поле називають стаціонарним, якщо воно не залежить від часу. Скалярне поле, яке змінюється з часом, називають нестаціонарним.

Важливою характеристикою скалярного поля є швидкість змін поля в заданому напрямі.

Нехай задано скалярне поле u = u (x, y, z). Візьмемо в ньому точку та вектор , який виходить з цієї точки. Напрям задамо за допомогою кутів які він утворює з додатними напрямами осей координат. Візьмемо точку яка лежить на прямій, що проходить через А в напрямі . Нехай відстань АВ дорівнює h. Тоді

та

Звідси

Обчислимо приріст функції u (x, y, z) при переході від А до В

.

Означення 16. Якщо існує границя відношення при , то цю границю називають похідною функції u (x, y, z) в точці А за напрямом і позначають , тобто

. (6.25)

Зазначимо, що коли напрям співпадає з напрямом осі Оx (), то границя (6.25) дорівнюватиме частинній похідній функції u за змінною х у точці А. Аналогічно, якщо співпадає з , або , то формула (6.25)
визначатиме та .

Величина визначає величину швидкості, а знак показує на зростання чи спадання величини u.

Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом. Користуючись виразом

де а також взявши отримаємо

(6.26)

Приклад 11. Обчислити похідну функції у точці А (1, 0, 2) у напрямку .

На основі (6.26) обчислимо .

Так

Значення знайдемо з формул:

Тоді

7. ГРАДІЄНТ ФУНКЦІЇ

Праву частину формули (6.26) можна розглядати як скалярний
добуток двох векторів:

Означення 17. Вектор називають градієнтом функції в точці А і позначають Отже

(7.27)

Тоді (7.28)

Нехай – кут між та , тоді . Звідси досягає максимального значення при . Таким чином

Це означає, що швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі градієнта.

Приклад 12. В якому напрямі відбувається найбільше зростання температури у точці .

Найбільше зростання скалярного поля відбувається у напрямі вектора-градієнта, що виходить з точки А. Знайдемо Маємо Тоді

8. ДОТИЧНА ПЛОЩИНА ТА НОРМАЛЬ ДО ПОВЕРХНІ

Означення 18. Дотичною площиною до поверхні F(x;y;z)=0 у деякій її точці M₀(x₀;y₀;z₀), називається площина, яка містить усі дотичні прямі до кривих, що розташовані на даній поверхні і проходять через точку M₀.

Якщо дотична площина до поверхні F(x;y;z)=0 у точці M₀(x₀;y₀;z₀) існує, то її рівняння має вигляд:

. (8.29)

Означення 19. Нормаль до поверхні F(x;y;z)=0 у точці M₀(x₀;y₀;z₀) – це пряма лінія, яка проходить через точку M₀(x₀;y₀;z₀) і перпендикулярна дотичній площині до заданої поверхні у точці M₀.

Якщо нормаль до поверхні F(x;y;z)=0 у точці M₀(x₀;y₀;z₀) існує, то її рівняння мають вигляд:

(8.30)

Приклад 13. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у точці M₀(3;4;-7).

Запишемо рівняння поверхні у вигляді . Тоді F(x;y;z)= . Знайдемо частинні похідні цієї функції:

Згідно з формулою (8.29) рівняння дотичної площини має вигляд:

або .

Згідно з формулою (8.30) рівняння нормалі мають вигляд:

або