![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое (тривиальное) решение
. В этом случае и в преобразованной матрице коэффициентов, и в преобразованной расширенной матрице всегда одинаковое число строк. Таким образом, всегда
и всегда выполняется теорема Кронекера – Капелли.
Если дополнительно ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных системы , то, учитывая выполнение всех условий следствия 1 из теоремы Кронекера – Капелли, тривиальное решение системы является единственным решением системы.
Если система линейных уравнений однородна и , то ее множество решений бесконечно и зависит от
произвольных постоянных
. Среди бесконечного множества решений однородной системы всегда можно выделить ровно
линейно независимых решений размерности
.
Прежде чем построить эти решения приведем необходимые определения и теоремы, справедливые для любых линейных пространств.
Определение. Будем говорить, что линейное пространство имеет размерность
и обозначать
или
, если в этом линейном пространстве существует линейно независимая система из
векторов, а любая система из
вектора линейно зависима.
Другими словами, линейное пространство имеет размерность
, если наибольшее число линейно независимых векторов в этом пространстве равно
.
Размерность пространства, состоящего из единственного нулевого элемента, считается равной нулю. Может случиться, что для любого сколь угодно большого числа в некотором линейном пространстве имеются
линейно независимых векторов. Такие пространства называют бесконечномерными линейными пространствами. Например, таким пространством будет линейное пространство, состоящее из полиномов любой степени, которое имеет базис
. Теория конечномерных линейных пространств выделяется из общей теории путем постулирования дополнительной аксиомы размерности.
Например, для двумерного пространства выделяющей аксиомой будет следующая: « Любая тройка векторов в линейном пространстве линейно зависима, но в пространстве
существуют два линейно независимых вектора.
Размерность любого конечномерного пространства равна числу векторов базиса этого пространства, что устанавливается следующей теоремой.
Теорема (о размерности пространства и его базисе). Для того чтобы линейное пространство имело размерность , необходимо и достаточно, чтобы любая линейно независимая система из
векторов являлась базисом этого пространства.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 344 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!