Умножение матриц. Определим умножение двух матриц; для этого необходимо ввести некоторые дополнительные понятия

Определим умножение двух матриц; для этого необходимо ввести некоторые дополнительные понятия.

Определение 3.14. Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Например матрицы А размерности m ´ n и В размерности n ´ p будут согласованными.

Обозначим строки матрицы А как А ₁, А ₂, …, А_m, а столбцы матрицы В как B ¹, B ², …, B^p. При этом в строке матрицы А столько же элементов, сколько в столбце матрицы В. Это условие позволяет умножать строку матрицы А на столбец матрицы В.

Умножим, например, А ₁ на столбец B ¹. Пусть А ₁ = (а ₁ а ₂ … а_n), B ¹ = тогда А ₁× B ¹ = (а ₁ а ₂ … а_n)× = а ₁× b ₁ + а ₂× b ₂ + … + а_n × b_n.

Пример 3.4. Умножим строку (1 2 3 4) на столбец .
(1 –2 3 4)× = (1×3 + (–2)×2 + 3×1 + 4×0) = (2).

Теперь можно определить умножение матриц.

Определение 3.15. Произведением согласованных матриц А размерности m ´ n и В размерности n ´ p называется матрица С = (с_ij) размерности m ´ p, для которой с_ij = А_i × B^j, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p.

Обозначение: С = A × B = .

Пример 3.5. Найти произведение матриц А × В, где А = , В = .

Решение. Матрицы А _3´2 и В _2´4 согласованы, значит можно найти произведение этих матриц А × В, результатом будет матрица размерности 3 ´ 4. А × В = × =

= =