Свойства умножения матриц

1) Умножение матриц не коммутативно: A × B ≠ B × A.

Продемонстрировать данное свойство можно на примерах.

Пример 3.6. а) Пусть даны две матрицы: А = и В = . Перемножим матрицы A × B = × = = , получим матрицу размерности 2 ´ 1. Умножить матрицу В = В _2´1 на матрицу А = А _2´2 нельзя, так как эти матрицы не согласованные. Т. о. свойство коммутативности для умножения двух матриц не выполняется.

б) Возьмем две матрицы так, чтобы А и В были согласованы и чтобы также В и А были согласованные. Проверим, что при данных условиях свойство коммутативности также не выполняется. Пусть А = А _2´3 = и В = В _3´2 = , найдем их произведения.

A × B = × = = С _2´2;

В × А = × = = С _3´3.

2) Ассоциативность: (A × B)× С = А ×(В × С).

3) Для любой квадратной матрицы А и согласованной с ней единичной матрицы Е справедливо равенство: A × Е = Е × A.

4) Дистрибутивный закон умножения матриц относительно сложения матриц: " А, В, С: (A + B)× С = (А × С) + (В × С) и A ×(B + С) = (А × В) + (А × С).

Пример 3.7. Пусть даны матрицы А = , В = и С = проверим справедливость свойства 4.

(A + B)× С = + × = × = ;

(А × С) + (В × С) = × + × = + = .

5) " k Î R, " А, В: k (А × В) = (kА)× В = А ×(kВ).