Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач. Дифференциальные уравнения движения голономной механи­ческой системы в обобщенных координатах, или уравнения Ла­гранжа второго рода

Дифференциальные уравнения движения голономной механи­ческой системы в обобщенных координатах, или уравнения Ла­гранжа второго рода, имеют вид:

(14.1)

где Т - кинетическая энергия системы; - обобщенные координаты; - обобщенные скорости; - обобщенные силы; s - число степе­ней свободы системы.

При составлении уравнений Лагранжа второго рода обычно ис­пользуются различные способы вычисления обобщенных сил.

Первый способ основан на определении обобщенной силы как ко­эффициента при вариации , соответствующей обобщенной коор­динаты в выражении возможной работы активных сил системы:

.

Для вычисления обобщенной силы , системе сообщается возмож­ное перемещение ,..., , ,…, ,..., , на котором изменяется только обобщенная координата при неизменных других координатах и определяется возможная работа активных сил на этом перемещении:

,

откуда

.

Второй способ пригоден в случае, если система находится в потенциальном поле сил:

,

причем, потенциальная энергия системы должна быть выражена как функция обобщенных координат.

Основное назначение уравнений Лагранжа второго рода - со­ставление дифференциальных уравнений движения механической системы, подчиненной идеальным удерживающим голономным свя­зям. Если среди связей, наложенных на систему, имеются неидеаль­ные, то реакции этих связей следует ввести в число активных сил.

Составление дифференциальных уравнений движения с помо­щью уравнений Лагранжа второго рода рекомендуется проводить в следующем порядке:

1. Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты.

2. Записать уравнения Лагранжа (14.1) с учетом выбранных обобщенных координат.

3. Вычислить кинетическую энергию системы как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей.

4. Найти производные от кинетической энергии, входящие в левую часть уравнений Лагранжа.

5. Найти обобщенные силы.

6. Подставить результаты, полученные в п. 4 и 5, в уравнения п.2. Если в задаче требуется найти уравнения движения системы, то следует проинтегрировать полученную систему дифференциальных уравнений движения, определив постоянные интегрирования по на­чальным условиям.