Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Дифференциал функций и его применение для приближённых вычислений



Дифференциалом функции в точке называют линейную функцию , d f (x 0)(h) = f '(x 0) h, такую, что выполняется условие

f (x 0 + h) − f (x 0) = d f (x 0)(h) + o (h 2).

Если дифференциал функции f в точке x 0 существует, то f называется дифференцируемой в точке x 0, а число f '(x 0) называется производной функции f в точке x 0. Часто дифференциал обозначают как или, если он подразумевается определенным на всем , просто d f.

Заметим, что дифференциал тождественной функции имеет вид d x (h) = h, поэтому формулу дифференциала произвольной функции f можно записывать также как

Аналогично, дифференциалом функции в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие

Если дифференциал функции f существует в точке x 0, то говорят, что функция f дифференцируема в точке x 0. Матрица этого линейного оператора называется матрицой Якоби, ее элементы будут частными производными f. Отметим, что даже если f не дифференцируема в точке x 0, некоторые (или даже все!) ее частные производные могут в этой точке существовать; дифференцируемость эквивалентна существованию всех частных производных только в случае n = 1.

В случае m = 1 можно рассмотреть функции , , где t стоит на i -м месте. Тогда дифференциал произвольной функции , аналогично со случаем одной переменной, можно записать как

В случае m > 1 дифференциал часто называют (полной) производной функции, в этом случае его иногда обозначают как .

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y 0 =f(x 0 ) и ее производной y 0 ' = f '(x 0) в точке x 0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δ y можно представить в виде суммы Δ y = dy +α·Δ x, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δ x вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δ ydy или Δ y» f '(x 0)·Δ x.

Т.к., по определению, Δ y = f (x) – f (x 0), то f(x) – f(x 0 )f '(x 0)·Δ x.

Откуда





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 311 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...