![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Дифференциалом функции в точке
называют линейную функцию
, d f (x 0)(h) = f '(x 0) h, такую, что выполняется условие
f (x 0 + h) − f (x 0) = d f (x 0)(h) + o (h 2).
Если дифференциал функции f в точке x 0 существует, то f называется дифференцируемой в точке x 0, а число f '(x 0) называется производной функции f в точке x 0. Часто дифференциал обозначают как или, если он подразумевается определенным на всем
, просто d f.
Заметим, что дифференциал тождественной функции имеет вид d x (h) = h, поэтому формулу дифференциала произвольной функции f можно записывать также как
Аналогично, дифференциалом функции в точке
называют линейный оператор
такой, что выполняется условие
Если дифференциал функции f существует в точке x 0, то говорят, что функция f дифференцируема в точке x 0. Матрица этого линейного оператора называется матрицой Якоби, ее элементы будут частными производными f. Отметим, что даже если f не дифференцируема в точке x 0, некоторые (или даже все!) ее частные производные могут в этой точке существовать; дифференцируемость эквивалентна существованию всех частных производных только в случае n = 1.
В случае m = 1 можно рассмотреть функции ,
, где t стоит на i -м месте. Тогда дифференциал произвольной функции
, аналогично со случаем одной переменной, можно записать как
В случае m > 1 дифференциал часто называют (полной) производной функции, в этом случае его иногда обозначают как .
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть нам известно значение функции y 0 =f(x 0 ) и ее производной y 0 ' = f '(x 0) в точке x 0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δ y можно представить в виде суммы Δ y = dy +α·Δ x, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δ x вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δ y ≈ dy или Δ y» f '(x 0)·Δ x.
Т.к., по определению, Δ y = f (x) – f (x 0), то f(x) – f(x 0 ) ≈ f '(x 0)·Δ x.
Откуда
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 311 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!