Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Непрерывность функции в точке. Предел функции в точке



Пусть f:E® R, a -точка области определения.

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " U (f (a)) $ U (a) (f (U (a))М U (f (a))).

Дадим определение непрерывной функции в точке на "языке e–d " (ср. с определением предела по Коши.)

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " e > 0 $ d(e)>0: " x удовлетворяющих условию |x-a|< d, выполнено неравенство |f(x)-f(a)|< e

Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a)М U(f(a)), " U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

f:E ® R непрерывна в a О E, где a- предельная точка E Ы lim x ® a f (x) = f (a)

Последнее равенство можно переписать в следующей форме lim x ® af (x) = f (lim x ® ax),

которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

limD x ® 0D y = 0, где D y = f(a+D x)-f(a).

Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно,

| sin x- sin a| = 2 | cos((x+a) / 2)sin ((x-a) / 2) | Ј 2 | sin((x-a) / 2)|Ј |x-a|/ 2 = |x-a|< e, как только |x-a|<d =e.

Непрерывность функции в точке.

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

y

f(x0)+e

f(x0)

f(x0)-e

0 x0-D x0 x0+D x

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x0) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х0.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 1109 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...