![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1) ,
2) ,
3) .
Введем понятие определителя (или детерминанта) матрицы. Определителем матрицы
порядка называется число
, где
определитель порядка
, полученный из матрицы
вычеркиванием первой строки и
го столбца. Число
называется дополнительным минором элемента
.
Применим данное определение к матрицам 2-го и 3-го порядков. Для матрицы имеем
,
где ,
. Аналогично для матрицы
получим
Заметим, что понятие определителя имеет смысл только для квадратных матриц.
В дальнейшем умение вычислять определители понадобится нам для решения систем линейных уравнений методом Крамера.
Рассмотрим систему линейных уравнений с
неизвестными
:
(1)
Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы
, (2)
а матрица
(3)
называется расширенной матрицей системы.
Если , то система (1) называется однородной.
Числа называются решением системы линейных уравнений, если будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Введем понятие ранга матрицы.
В матрице размером
минор порядка
называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка
равны нулю или миноров порядка
вообще нет.
Рангом матрицы называется порядок базисного минора (обозначение ).
Проще всего находить ранг матрицы и ее базисный минор при помощи элементарных преобразований, к которым относятся:
1) замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;
2) перестановка строк матрицы;
3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;
4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.
Важное значение имеет теорема: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются эквивалентными (пишут: ).
Если при помощи нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований перейти от матрицы к некоторой другой матрице
, то
. Вычислив ранг
мы тем самым будем знать и ранг
. Оказывается, что от любой матрицы
можно перейти к такой матрице
, вычисление ранга которой не представляет затруднений; для этого следует добиться, чтобы в
было достаточно много нулей
. (4)
Матрицы, имеющие вид (4) называются треугольными.
Пример. Найти ранг матрицы .
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 286 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!