Элементы линейной алгебры

Матрицей размера называется прямоугольная таблица, в которой в специальном порядке записаны элементов :

или .

Первый индекс является номером строки, а второй индекс номером столбца, на пересечении которых в матрице стоит элемент .

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк - ее порядком. Остальные матрицы называют прямоугольными.

Две матрицы и считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы , ( ).

Диагональ квадратной матрицы, содержащая элементы , называется главной, а диагональ, которая содержит элементы , называется - побочной.

Суммой - матриц и называется матрица размера , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и :

, ( ).

Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называется матрица , которая получается из матрицы умножением всех элементов на :

, ( ).

Произведением – матрицы на - матрицу называется - матрица , элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов ой строки матрицы и го столбца матрицы :

, ( ).

Заметим, что число столбцов матрицы должно быть равно числу строк матрицы .

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется, т.е.

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой

.

Сумма нулевой матрицы и произвольной матрицы дает матрицу :

.

Единичной матрицей называется матрица вида

.

Пример. Вычислить 1) 2) 3) , где ; .