Символы плоскостей

Плоские сетки в пространственной решетке и соответствующие им грани кристаллического многогранника характеризуются наклоном в заданной системе координат. Любая грань кристалла параллельна какой-либо плоской сетке, а значит, бесконечному числу параллельных ей плоских сеток.

Пусть какая-либо плоскость решетки пересекает все три оси координат, отсекая на них отрезки ma, nb, pc (m, n, p – целые числа). Отношение чисел m:n:p характеризует наклон плоскости к осям координат. Таким же отношением определяется и ориентировка всего семейства параллельных ей плоскостей. Рассмотрим семейство параллельных плоскостей на рис. 19.

Серию отношений рациональных чисел m:n:p для всех параллельных плоскостей можно представить как отношение взаимно простых чисел, так называемых параметров Вейсса p:q:r. Для рассматриваемого случая данные внесены в табл. 4.

Таблица 4

Номер плоскости	Отрезки по осям	m:n:p
x	y	z
				2: :1 = 4:1:2
				4:1:2
				6: :3 = 4:1:2
				8:2:4 = 4:1:2

В кристаллографии и кристаллофизике принято характеризовать плоскости (или направления к ним) не параметрами, а индексами Миллера.

Индексы Миллера – это величины, обратные параметрам Вейсса, приведенные к целым числам. Если параметры плоскости p,q,r, то индексы Миллера определяются из соотношения

: : = h:k:l.

Числа h, k, l, не имеющие общего множителя, носят название индексов Миллера плоскости. Индексы, написанные подряд, без запятых, и заключенные в круглые скобки – (hkl), называют символом плоскости. Символом (hkl) характеризуется весь набор параллельных плоскостей. Набор физически эквивалентных плоскостей представлен символом {hkl}. В этом символе в фигурных скобках заключена вся совокупность физически эквивалентных плоскостей, которая может быть получена путем перестановки индексов, смены знаков индексов.

Если плоскость параллельна какой-либо оси координат, т. е. пересекается с этой осью в бесконечности, то индекс этой плоскости по этой оси будет .

Символы координатных плоскостей независимо от углов между осями всегда будут XOY = (001), XOZ = (010), YOZ = (100).

Метод описания граней и ребер кристалла с помощью индексов и символов установили задолго до того, как на опыте была доказана решетчатая структура кристалла. Он основывался на замечательном эмпирическом законе кристаллографии - законе целых чисел или законе рациональных отношений.

Этот закон утверждает: для любых двух граней реального кристалла двойные отношения параметров равны отношению целых чисел. Плоскость может быть гранью кристалла, только в том случае, если отрезки, отсекаемые ею на осях координат, и «единичные» отрезки связаны между собой соотношением

: : = p:q:r,

где p, q, r – целые, взаимно простые и для реальных кристаллов малые числа (рис. 20).

Именно поэтому на растущем кристалле появляются только грани определенного наклона, характерного для данного вещества.

Грани, для которых отношение p:q:r является иррациональным, невозможны в реальном кристалле, как правило, p, q, r – числа, не превышающие пяти. Если эти числа будут целые, но больше 5, то грань возможна, но ее появление маловероятно.

Итак, любую кристаллографическую плоскость и любую грань кристалла можно определить тремя целыми числами – индексами Миллера, которые обладают следующими свойствами:

1) это целые не имеющие общего множителя числа;

2) они обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым плоскостью от начала координат;

3) все параллельные плоскости обозначаются одним набором индексов Миллера;

4) если плоскость параллельна какой-либо оси, соответствующий индекс равен нулю;

5) в кристаллах кубической системы плоскость и нормаль к ней обозначаются одинаковым набором индексов Миллера.

Чтобы найти индексы Миллера любой кристаллографической плоскости, надо прежде всего выбрать начало координат (но не в данной плоскости); затем выразить отрезки, отсекаемые плоскостью на

оси координат, через осевые отрезки а, b, с, далее найти обратные значения этих величин, привести их к виду наименьших возможных рациональных дробей, имеющих общий знаменатель, и заключить

по лученные числа в круглые скобки (рис. 21).

Рис. 21. Основные направления и плоскости куба:
а – индексы осей симметрии, диагоналей граней и пространственных диагоналей
кубической решетки; б – индексы основных плоскостей кубической решетки