Р е ш е н и е н е л и н е й н ы х у р а в н е н и й м е т о д о м х о р д

Метод хорд является более быстрым способом нахождения корня уравнения f (x)=0, нежели метод половинного деления (Рис. 1).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке (а, в) и f (а) f (в) < 0.

Для определения корня в первом приближении проведем прямую через две точки (а, f (а)) и (в, f (в)) и найдем точку пересечения x этой прямой с осью абсцисс. Если ½f(x )½ £ e, где e - малое число, опреде-ляющее точность решения уравнения, то х принимается за корень уравнения

Рис. 1

Если ½f(x )½ > e, то находится произведение f(a) f (x ). Если f (а) f (x )>0, то за неподвижный конец хорд принимается точка (в, f(в)), если f(а) f(x ) < 0, то - точка (а, f(а)). Снова проведем хорду, которая пересечет ось

абсцисс ближе к точке пересечения кривой f(x) с осью x. При f (а) f(x ) > 0 хорда проводится через точки (x , f(x ), (в, f(в)), т. е. роль точки а играет точка (x , f(x )). Чтобы получить координаты точки пересечения новой хорды с осью x достаточно в первоначальном уравнении хорды «а» заменить на x , а f(а) - на f(x ). Аналогично обстоит дело и в случае f(а) f(x ) <0.

Теперь получим аналитическое выражение изложенных выше словесных рассуждений. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки, имеет вид

=

Разрешим это уравнение относительно x:

x -x = (y -y )

Учитывая, что в точке пересечения хорды с осью x у=0, получаем:

x= x - y (x - x ) / (y - y )

По условию у =f(а); у = f(в), x = а; x = в.

С учетом этого получаем:

x= а - f(а) (в - а) / (f(в) - f(а)) (1)

По этой формуле вычисляется значение корня уравнения в первом приближении. Проверяем точность вычисленного корня. Если £ e, то вычисления прекращаются. Если f(x)> e, то вычисляется произведение f(а) f(x). Если f(а) f(x) > 0, то принимается а = x f(а) = f(x) и по этим данным по формуле (1) вычисляется новое значение х. Если же f(a) f(x)<0, то принимается в =x, f(в)=f(x) и по этим данным вычисляется новое значение х. Так продолжается до тех пор, пока не будет выполняться неравенство f (x) £ e, или пока два последовательных значения x не будут отличаться не более, чем на e , т.е. £ e₁ . На основе этого алгоритма составлена подпрограмма H O R D, текст которой приведен в приложении 3.

Пример решения уравнения методом хорд приведен также в приложении 3.