![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Этот метод решения уравнения f(х) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением х = j(х) и построении последовательности хn+1 = j (хn), сходящейся к точному решению при n®¥. Достаточным условием сходимости является выполнение неравенства ½j1(х)½< 1 на отрезке (а, в). Поэтому прежде чем проводить вычисления корня, необходимо проверить выполнение условия сходимости вычислением значения j1 (х) на концах отрезка (а, в). Если ½j1(а)½<1 и ½j 1(в)½<1, то можно начинать вычисления корня уравнения.
Может оказаться, что функция j (х) такова, что ее первая производная всегда > 1 по модулю.
В таком случае следует поискать такое преобразование функции j(х), чтобы у преобразованной функции j1(х) выполнялось условие
½j11 (х)½< 1. Если такое преобразование найти не удалось, то уравнение следует решать каким – либо другим методом.
Пример. Установить можно ли решить уравнение ех – х – 2 = 0 методом простых итераций.
В п. 2.2. (пример 4) было установлено, что один из корней рассматриваемого уравнения находится на отрезке (1; 2). Преобразовываем исходное уравнение к виду, удобному для решения методом простых итераций: х = ех – 2. В этом уравнении j(х) = ех – 2. Находим первую производную функции j (х): j1 (х) = ех. При х > 0 ех >1, следовательно, уравнение х = ех - 2 методом простых итераций решить нельзя. Значит, первоначальное уравнение надо преобразовать к другому виду.
Запишем первоначальное уравнение в следующем виде ех= х + 2. Логарифмируя правую и левую части, получаем х = ln(х+2). Теперь j (х) = ln(х+2), j1(х) = 1 / (х+2). При х > 0 ½j1 (х)½< 1, т.е. теперь процесс итераций будет сходящимся, и уравнение можно решать методом простых итераций.
Когда сходимость процесса установлена, задаются начальным значением корня хо и вычисляют первое приближение корня х1= j (хо). Если ½х1 – хо½> e, то выполняют очередную итерацию х2 = j (х1) и т. д. Если после выполнения n итераций окажется, что ½хn+1- хn½< e, то вычисления заканчивают и за приближенное значение корня уравнения f(х) = 0 принимают величину хn+1. Из цикла вычисления корня уравнения можно выйти и в том случае, если значение первоначальной функции f(х) будет мало отличаться от нуля, т.е. если f (xn+1)½£ e.
Из сказанного выше видно, что для решения уравнений методом простых итераций необходимо иметь: первоначальное уравнение f(х) = 0, эквивалентное уравнение х = j (х), выражение первой призводной эквивалентного уравнения j1(х), начальное приближение корня хо и значение малой величины e, определяющей момент выхода из итерационного процесса.
Если отрезок (а, в), содержащий корень уравнения f (х) = 0, определен, то алгоритм решения уравнения может быть представлен в следующем виде:
1) вычислить значения j1(х) на концах отрезка (а, в);
2) если ½j1(а)½>1 или ½j1(в) ½>1, то перейти к п. 9;
3) выбрать начальное значение корня а £ хn £ в;
4) вычислить хn+1 = j (хn)
5) если ½хn+1 – хn½£ e, то перейти к п. 9;
6) вычислить f (хn+1);
7) если ½f (xn+1)½£ e, то перейти к п. 9;
8) положить хn = хn+1 и перейти к п. 4;
9) закончить расчет.
Этот алгоритм реализован в виде подпрограммы SUBROUTINE PRITE (A, B, EPS, X, K).
Текст этой подпрограммы и пример решения уравнения методом простых итераций приведен в приложении 5.
Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций у = х и у = j (х). Корнем ξ уравнения х = j (х) является абсцисса точки пересечения кривой у = j (х) с прямой у = х (рис. 3). Взяв в качестве начальной произвольную точку х0 ε [a, b], строим ломанную линию (рис. 3, а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляет собой последовательные приближения корня ξ.
Рис. 3
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 288 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!