П р о с т ы х и т е р а ц и й

Этот метод решения уравнения f(х) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением х = j(х) и построении последовательности х_n+1 = j (х_n), сходящейся к точному решению при n®¥. Достаточным условием сходимости является выполнение неравенства ½j¹(х)½< 1 на отрезке (а, в). Поэтому прежде чем проводить вычисления корня, необходимо проверить выполнение условия сходимости вычислением значения j¹ (х) на концах отрезка (а, в). Если ½j¹(а)½<1 и ½j ¹(в)½<1, то можно начинать вычисления корня уравнения.

Может оказаться, что функция j (х) такова, что ее первая производная всегда > 1 по модулю.

В таком случае следует поискать такое преобразование функции j(х), чтобы у преобразованной функции j₁(х) выполнялось условие

½j₁¹ (х)½< 1. Если такое преобразование найти не удалось, то уравнение следует решать каким – либо другим методом.

Пример. Установить можно ли решить уравнение е^х – х – 2 = 0 методом простых итераций.

В п. 2.2. (пример 4) было установлено, что один из корней рассматриваемого уравнения находится на отрезке (1; 2). Преобразовываем исходное уравнение к виду, удобному для решения методом простых итераций: х = е^х – 2. В этом уравнении j(х) = е^х – 2. Находим первую производную функции j (х): j¹ (х) = е^х. При х > 0 е^х >1, следовательно, уравнение х = е^х - 2 методом простых итераций решить нельзя. Значит, первоначальное уравнение надо преобразовать к другому виду.

Запишем первоначальное уравнение в следующем виде е^х= х + 2. Логарифмируя правую и левую части, получаем х = ln(х+2). Теперь j (х) = ln(х+2), j¹(х) = 1 / (х+2). При х > 0 ½j¹ (х)½< 1, т.е. теперь процесс итераций будет сходящимся, и уравнение можно решать методом простых итераций.

Когда сходимость процесса установлена, задаются начальным значением корня х_о и вычисляют первое приближение корня х₁= j (х_о). Если ½х₁ – х_о½> e, то выполняют очередную итерацию х₂ = j (х₁) и т. д. Если после выполнения n итераций окажется, что ½х_n+1- х_n½< e, то вычисления заканчивают и за приближенное значение корня уравнения f(х) = 0 принимают величину х_n+1. Из цикла вычисления корня уравнения можно выйти и в том случае, если значение первоначальной функции f(х) будет мало отличаться от нуля, т.е. если f (x_n+1)½£ e.

Из сказанного выше видно, что для решения уравнений методом простых итераций необходимо иметь: первоначальное уравнение f(х) = 0, эквивалентное уравнение х = j (х), выражение первой призводной эквивалентного уравнения j¹(х), начальное приближение корня х_о и значение малой величины e, определяющей момент выхода из итерационного процесса.

Если отрезок (а, в), содержащий корень уравнения f (х) = 0, определен, то алгоритм решения уравнения может быть представлен в следующем виде:

1) вычислить значения j¹(х) на концах отрезка (а, в);

2) если ½j¹(а)½>1 или ½j¹(в) ½>1, то перейти к п. 9;

3) выбрать начальное значение корня а £ х_n £ в;

4) вычислить х_n+1 = j (х_n)

5) если ½х_n+1 – х_n½£ e, то перейти к п. 9;

6) вычислить f (х_n+1);

7) если ½f (x_n+1)½£ e, то перейти к п. 9;

8) положить х_n = х_n+1 и перейти к п. 4;

9) закончить расчет.

Этот алгоритм реализован в виде подпрограммы SUBROUTINE PRITE (A, B, EPS, X, K).

Текст этой подпрограммы и пример решения уравнения методом простых итераций приведен в приложении 5.

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций у = х и у = j (х). Корнем ξ уравнения х = j (х) является абсцисса точки пересечения кривой у = j (х) с прямой у = х (рис. 3). Взяв в качестве начальной произвольную точку х₀ ε [a, b], строим ломанную линию (рис. 3, а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляет собой последовательные приближения корня ξ.

Рис. 3