Язык логики суждений

В ряде случаев в процессе логического анализа для выяснения некоторых логических отношений (логического следования, совместимости, несовместимости высказываний и др.) не играют роли структуры простых высказываний. Не учитывать такие структуры (если в этом действительно нет необходимости) позволяет так называемый язык классической логики высказываний, использующий пропозициональные переменные.

Формулы (Индуктивное определение):

1) каждая пропозициональная переменная есть формула;

2) если А и В – формулы, то (АÉВ), (АÙВ), (АÚВ), (А Ú В), (АºВ), ùА – формулы;

3) ничто, кроме указанного в пунктах 1) – 2), не есть формула.

Другими словами, по пункту 1) некоторые высказывания, например p и q есть формулы. Следовательно, по пункту 2) (pÙq) также есть формула, а равно (pÙq), (p®q) также есть формулы. Но поскольку (pÙq) и (pÙq) формулы, то ((pÙq)º(pÙq)) – также формула по пункту 2). Таким образом, можно построить все возможные формулы сложных высказываний.

Пример. «Вы получите положительную оценку по логике тогда и только тогда, когда вы решите все предлагаемые вам задачи и не будете шуметь на лекциях». Обозначим простые высказывания при помощи пропозициональных переменных: p – «Вы получите положительную оценку по логике»; q – «Вы решите все предлагаемые вам задачи»; r – «Вы будете шуметь на лекциях». Тогда получится формула:

pºqÙùr.

Вопросы и упражнения для повторения

1. Для чего в применяются языки классической логики предикатов и логики высказываний?

2. В чем заключается различие между предикатором и предикатом?

3. Чем определяется местность предикатора? Знаками каких признаков являются одноместные и многоместные предикаты?

4. Как можно подробнее переведите на язык логики предикатов следующие суждения:

а) При широком понимании предмета логики, она представляет собой часть теории познания.

б) У Земли геометрический центр и центр тяжести не совпадают.

в) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной окружностью.

г) Производная суммы равна сумме производных.

д) Площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного.

5. Придумайте высказывания, соответствующие формулам:

а) "х(Р(х)ÉQ(x))

б) $x(P(x)ÙùQ(x))

в) "x"y(R(x,y)ÉR(y,x))

г) $x"yP(x,y)

д) $x"y"z(R(x,y)ÙùR(x,z))

6. Переведите на язык логики высказываний следующие сложные суждения:

а) Если на приговор подана жалоба или принесен протест, дело подлежит передаче в вышестоящий суд.

б) Если некоторое число N оканчивается на 0 или 5, то оно долится на 5, и если число N не делится на 5, то оно не оканчивается ни на 0, ни на 5.

в) Жарко и идет дождь.

г) Дождь не идет, но не жарко.

д) Подальше положишь, поближе возьмешь.