Язык логики предикатов

Формализованный язык классической логики предикатов по существу является фрагментом и результатом некоторой реконструкции естественного языка. Специфика его состоит, прежде всего, в наличии точных правил построения высказываний (формул) и сложных имен (термов). Этот язык предназначен для аксиоматического построения теорий, для анализа содержания высказываний естественного языка и выявления логических отношений между ними, для описания правил рассуждения, построения выводов и доказательств и т.д.

Язык классической логики предикатов обычно характеризуют как символический язык потому, что здесь используется особая символика.

Исходные символы

p, q, r, s, p₁... – пропозициональные переменные (символы для обозначения целых повествовательных предложений);

a, b, c, d, a₁... – предметные константы (символы для обозначения единичных имен);

x, y, z, x₁... – предметные переменные (символы для обозначения общих имен);

P, Q, R, S, P₁... – предикатные символы (символы для обозначения свойств и отношений).

ù - логическое отрицание («не» или «неверно, что»);

Ù - конъюнкция («и»);

Ú - дизъюнкция («или»);

Ú - строгая дизъюнкция («либо…, либо…»);

É - импликация («если…, то…»)

º - тождество (эквивалентность) («тогда и только тогда, когда…»);

" - квантор всеобщности («все», «каждый»);

$ - квантор существования («некоторые», «существуют»);

Помимо этого в записи используются технические знаки: скобки и запятая.

Мы рассмотрим только самые простейшие основы языка классической логики предикатов.

Выражения языка логики предикатов называются формулами. Определению правильно построенной формулы предшествует определение терма.

Термы (Индуктивное определение):

1) любая предметная переменная и предметная константа есть терм;

2) если t₁, t₂, …t_n есть термы и fⁿ есть n -местный предметный функтор, то fⁿ(t₁, t₂, … t_n) есть терм;

3) ничто, кроме указанного в пунктах 1) и 2), не есть терм.

Формулы (Индуктивное определение):

1) если t₁, t₂, …t_n есть термы и Рⁿ – n -местный предикатор, то Pⁿ(t₁, t₂, …t_n) есть формула (атомарная);

2) если А и В – формулы, то (АÉВ), (АÙВ), (АÚВ), ùА – формулы;

3) если х есть предметная переменная и А – формула, то "хА и $хА – формулы;

4) ничто, кроме указанного в пунктах 1) – 3), не есть формула.

Использованные в определениях терма и формулы символы t₁, t₂, …t_n и fⁿ, Pⁿ, А, В, х – знаки метаязыка.

Метаязык – это язык, на котором говорят о другом языке. Например, в учебнике английского языка для русских метаязыком является как раз русский язык, а английский в этом случае будет называться объектным. Объектный язык – это язык описание которого происходит с помощью метаязыка. Если взять учебник русского языка для англичан, то объектным в нем является русский язык, а метаязыком – английский.

При переводе высказываний на язык логики предикатов существует различие между записью признаков-свойств и признаков-отношений.

Тот факт, что предмету а принадлежит свойство Р на языке логики предикатов запишется Р(а), а то, что предмету b принадлежит свойство Q – Q(b). То что некоторое свойство Р принадлежит произвольному предмету х из некоторой, выбранной нами области, запишется Р(х).

Пример. Высказывание «Это дерево высокое» на языке логики предикатов запишется так: Р(а), где а – «это дерево»; Р – «высокое».

Пример. «Некоторые деревья высокие» на языке логики предикатов запишется формулой $хР(х), где х – «деревья»; Р – «высокие»; $ - квантор существования, указывающий на то, что в высказывании речь идет только о некоторых элементах множества «деревья».

То, что между двумя произвольными предметами х и у существует отношение R, запишется R(x,y).

Пример. Высказывание «Каждое положительное число больше любого отрицательного» в виде формулы можно представить так: "х"уR(х,у), где х – «положительные числа»; у – «отрицательные числа»; R – отношение «быть больше».

Пример. «Пять больше трех» на языке логики предикатов запишется R(a,b), где а – «пять»; b – «три»; R – «быть больше».

Пример. «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом». В этом высказывании имеет место отношение между тремя предметами «Москва», «Петербург», «Екатеринбург». Формула высказывания будет следующей: R(a,b,c), где a – «Москва»; b – «Петербург»; c – «Екатеринбург»; R – отношение «быть расположенным между».

Формулы Р(а), Р(х), R(х,у), R(a,b,c) и т.д. называются предикатами. Предикат следует отличать от предикатора. Предикаторы (см. Тема 2) являются составными частями предикатов. Разница между ними в том, что, если речь идет о характеристиках (свойствах и отношениях, а также характеристиках предметно-функционального типа) без отнесения их к определенным предметам, то они называются предикаторами. Если же мы говорим о предикатах, то подразумеваем характеристики определенных, данных предметов. Таким образом, в отличие от предикаторов, предикаты – это не просто знаки свойств или отношений, а знаки признаков. Например, слово «белый» как знак отвлеченного от предметов свойства будет являться предикатором, а как знак признака предмета «свитер» («белый свитер») или «снег» («белый снег») – предикатом.

Знаки свойств называются одноместными предикатами. Знаками отношений являются многоместные предикаты. Так, предикаты Р(а) и Р(х) – одноместные. Предикаты R(х,у) и R(a,b,c) – многоместные: R(х,у) – двухместный предикат; R(a,b,c) – трехместный предикат. Часто местность предиката указывают верхним индексом: R²(х,у), R³(a,b,c).

При записи высказываний на языке логики предикатов нужно иметь в виду, что в логике принято различать атрибутивные и реляционные свойства. Атрибутивные свойства представляют собой характеристики предметов самих по себе, например, «является человеком», «жидкий», «способный» и т.д. Реляционные свойства всегда образуются из некоторого отношения и указывают на наличие или отсутствие отношения данного предмета к каким-то другим предметам.

Пример. Высказывание «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом» можно записать формулой R₁(а), где а – «Москва»; R₁ – реляционное свойство «быть расположенным между Петербургом и Екатеринбургом». Нетрудно заметить, что одноместный предикат R₁(а), который представляет реляционное свойство, образуется из многоместного (в данном случае, трехместного) предиката R(a,b,c).

Пример. Высказывание «Всякий студент знает какой-нибудь иностранный язык» может быть записано на языке классической логики предикатов в следующем виде:

"х$yR(x,y),

где «х» употребляется вместо «студент», «у» - вместо «иностранный язык», «R» является знаком отношения «знает».

Классы студентов и иностранных языков называются областями значений соответственно х и у.

Информацию, заключенную в исходном высказывании, можно выразить более подробно:

"x(P(x) É $y(Q(y) Ù R(x,y))),

где P и Q обозначают теперь, соответственно, «студент» и «иностранный язык», рассматриваемые как знаки свойств (т.е. одноместные предикаторы), а х и у имеют единую область значений – множество «объектов вообще».

Пример. Высказывание «Если какое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает» на языке логики предикатов запишется так:

"x(P(x,a)ÉQ(x)),

где Р – отношение «вторгается»; Q – «вспыхивает»; а – «атмосфера Земли»; х – «тело».