![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Широко используемые разделы прикладной математики — линейная алгебра, в частности теория матриц, — обычно изучаются только для поля вещественных чисел и поля комплексных чисел, однако большинство известных операций линейной алгебры справедливо также для произвольного поля. Мы кратко изложим этот материал отчасти в порядке обзора и отчасти для доказательства того, что известные методы остаются справедливыми над произвольным полем (а иногда даже над произвольным кольцом).
Определение 1.5.1. (п X т)-матрицей А над кольцом R называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и т столбцов и содержащая пт элементов из кольца R
a 11 a 12 ... a 1m
a 21 a 22 ... a 2m
A = ...... = [ а ij ]
......
a n1 a n2 ... a nm
В большинстве приложений кольцо R в действительности является полем, и мы ограничимся этим случаем. Как правило, мы будем рассматривать матрицы над конечным полем GF (q).
Множество элементов аii, для которых номер строки совпадает с номером столбца, называется главной диагональю. Если n равно т, то матрица называется квадратной матрицей, (п X n)-матрица, все элементы главной диагонали которой равны единичному элементу поля, а остальные элементы равны нулевому элементу поля, называется единичной (п X п)-матрицей.
Единичная матрица обозначается через I. Примерами единичных матриц являются
1 0 0
1 0 и 0 1 0
1 0 0 0 1
Две (п Х m) матрицы А и В над полем GF (q) можно складывать по правилу
A + B = C, где cij = aij + bij
(lХ п) матрицу А и (п Х m) матрицу В над полем GF (q) можно умножать получив (l X m) матрицу С, по правилу
п
А В =С, где сij = ∑(аik bkj)
k=1
Как легко проверить, множество квадратных (nX п)- матриц образует кольцо относительно так определенных умножения и сложения матриц. Это кольцо не коммутативно, но обладает единицей, а именно единичной (п X п)-матрицей. Матрицу можно разбить на блоки по правилу
A11 |A12
A = ---- |------
A21 | A22
где А11А12, А21 и А22 — меньшие матрицы, размеры которых очевидным образом дополняют друг друга до размеров матрицы А. А именно сумма числа строк матрицы А11 (или А12) и числа строк матрицы А21 (или А22) равна числу строк матрицы А; аналогичное утверждение выполняется для столбцов. Матрицы можно перемножить поблочно, а именно если С = АВ, то при условии корректного выбора размеров блоков (корректного в том смысле, что все произведения и суммы матриц определены)
А11В11 +А12В21 | А11В12 + А12В22
С = ---------------------|----------------------
А21В11 +А22В21 | А21В12 + А22В22
Такое разложение можно получить как простое следствие аксиом ассоциативности и дистрибутивности основного поля-
Транспонированной к (n X m)-матрице А называется (т X n)-матрица Ат, такая, что a т ij = а ji. Таким образом, строками матрицы Ат служат столбцы матрицы А, а столбцами матрицы Ат служат строки матрицы А. Обратной к квадратной матрице А называется квадратная матрица А-1 (если она существует), такая что А -1А= АА-1 = I. Как можно сразу проверить, множество всех обратимых (n X n)-матриц образует группу относительно операции умножения. Следовательно, если матрица имеет обратную, то обратная матрица единственна, так как в силу теоремы 1.1.2 это свойство выполняется в каждой группе. Матрица, имеющая обратную, называется невырожденной; в противном случае она называется вырожденной. Если С = АВ, то при условии, что А и В обратимы, С-1 = В-1А-1, так как (В-1A-1) С= I = С (В-1A-1). Впоследствии мы увидим, что если у А или у В нет обратной матрицы, то и у С нет обратной матрицы.
Определение 1.5.2. Пусть задано поле F. Определитель квадратной (n xX n)-матрицы А для каждого п является функцией на множестве всех (n xX n)-матриц над Fсо значениями в поле F, обозначается через det(А) и задается формулой
detсЫ(А) = ξi1,i2,i3,…,in α1 i1 α2 i2 α3 i3 … αn inЕ&!.:. <-„й'н1а2,-2 • • • ащп,,
где /i1, i2, … in х, {'а,..., 1„ — перестановка на множестве целых чисел {1, 2,..., п}\, ξi1,i2,i3,…,in |,-... 1п равно ±1 в зависимости от четности или нечетности перестановки, а суммирование ведется по всем перестановкам.
Нечетная перестановка определяется как произведение нечетного числа транспозиций (транспозицией называется перестановка двух членов). Четная перестановка определяется как перестановка, которая не может быть получена нечетным числом транспозиций.
Один из способов сделать это определение наглядным состоит в рассмотрении множеств всех матриц, которые можно получить из матрицы А перестановкой строк. Для каждой из таких матриц возьмем произведение всех членов, лежащих на главной диагонали (если перестановка была нечетной, то изменим знак произведения), и сложим все полученные таким образом произведения. Конечно, вычислять таким образом определитель не следует, но это дает хороший способ установления свойств определителей.
В приведенной ниже теореме перечислены свойства функции (det1е1 (А), вытекающие непосредственно из ее определения.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 317 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!