Линейная алгебра. Широко используемые разделы прикладной математики — линейная алгебра, в частности теория матриц, — обычно изучаются только для поля вещественных чисел и поля

Широко используемые разделы прикладной математики — линейная алгебра, в частности теория матриц, — обычно изучаются только для поля вещественных чисел и поля комплексных чисел, однако большинство известных операций линейной алгебры справедливо также для произвольного поля. Мы кратко изложим этот материал отчасти в порядке обзора и отчасти для доказательства того, что известные методы остаются справедливыми над произвольным полем (а иногда даже над произвольным кольцом).

Определение 1.5.1. (п X т)-матрицей А над кольцом R называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и т столбцов и содержащая пт элементов из кольца R

a ₁₁ a ₁₂ ... a _1m

a ₂₁ a ₂₂ ... a _2m

A = ...... = [ а _ij ]

......

a _n1 a _n2 ... a _nm

В большинстве приложений кольцо R в действительности является полем, и мы ограничимся этим случаем. Как правило, мы будем рассматривать матрицы над конечным полем GF (q).

Множество элементов а_ii, для которых номер строки совпа­дает с номером столбца, называется главной диагональю. Если n равно т, то матрица называется квадратной матрицей, (п X n)-матрица, все элементы главной диагонали которой равны единичному элементу поля, а остальные элементы равны нулевому элементу поля, называется единичной (п X п)-матрицей.

Единичная матрица обозначается через I. Примерами единичных матриц являются

1 0 0

1 0 и 0 1 0

1 0 0 0 1

Две (п Х m) матрицы А и В над полем GF (q) можно складывать по правилу

A + B = C, где c_ij = a_ij + b_ij

(lХ п) матрицу А и (п Х m) матрицу В над полем GF (q) можно умножать получив (l X m) матрицу С, по правилу

п

А В =С, где с_ij = ∑(а_ik b_kj)

k=1

Как легко проверить, множество квадратных (nX п)- матриц образует кольцо относительно так определенных умножения и сложения матриц. Это кольцо не коммутативно, но обладает единицей, а именно единичной (п X п)-матрицей. Матрицу можно разбить на блоки по правилу

A₁₁ |A₁₂

A = ---- |------

A₂₁ | A₂₂

где А₁₁А₁₂, А₂₁ и А₂₂ — меньшие матрицы, размеры которых очевидным образом дополняют друг друга до размеров матрицы А. А именно сумма числа строк матрицы А₁₁ (или А₁₂) и числа строк матрицы А₂₁ (или А₂₂) равна числу строк матрицы А; аналогичное утверждение выполняется для столбцов. Матрицы можно перемножить поблочно, а именно если С = АВ, то при условии корректного выбора размеров блоков (корректного в том смысле, что все произведения и суммы матриц определены)

А₁₁В₁₁ +А₁₂В₂₁ | А₁₁В₁₂ + А₁₂В₂₂

С = ---------------------|----------------------

А₂₁В₁₁ +А₂₂В₂₁ | А₂₁В₁₂ + А₂₂В₂₂

Такое разложение можно получить как простое следствие аксиом ассоциативности и дистрибутивности основного поля-

Транспонированной к (n X m)-матрице А называется (т X n)-матрица А^т, такая, что a ^т _ij = а _ji. Таким образом, строками матрицы А^т служат столбцы матрицы А, а столбцами матрицы А^т служат строки матрицы А. Обратной к квадратной матрице А называется квадратная матрица А^-1 (если она существует), такая что А ^-1А= АА^-1 = I. Как можно сразу проверить, множество всех обратимых (n X n)-матриц образует группу относительно операции умножения. Следовательно, если матрица имеет обрат­ную, то обратная матрица единственна, так как в силу теоремы 1.1.2 это свойство выполняется в каждой группе. Матрица, имеющая обратную, называется невырожденной; в противном случае она называется вырожденной. Если С = АВ, то при условии, что А и В обратимы, С^-1 = В_-1А_-1, так как (В^-1A^-1) С= I = С (В^-1A^-1). Впоследствии мы увидим, что если у А или у В нет обратной матрицы, то и у С нет обратной матрицы.

Определение 1.5.2. Пусть задано поле F. Определитель квадратной (n xX n)-матрицы А для каждого п является функцией на множестве всех (n xX n)-матриц над Fсо значениями в поле F, обозначается через det(А) и задается формулой

detсЫ(А) = ξ_{i1,i2,i3,…,in} α_{1 i1} α_{2 i2} α_{3 i3} … α_{n in}Е&!.:. <-„^й'н₁^а2,-₂ • • • ащ_п,,

где /i1, i2, … in _х, {'_а,..., 1„ — перестановка на множестве целых чисел {1, 2,..., п}\, ξ_{i1,i2,i3,…,in} |,-... 1_п равно ±1 в зависимости от четности или нечет­ности перестановки, а суммирование ведется по всем переста­новкам.

Нечетная перестановка определяется как произведение нечет­ного числа транспозиций (транспозицией называется переста­новка двух членов). Четная перестановка определяется как пере­становка, которая не может быть получена нечетным числом транс­позиций.

Один из способов сделать это определение наглядным состоит в рассмотрении множеств всех матриц, которые можно получить из матрицы А перестановкой строк. Для каждой из таких матриц возьмем произведение всех членов, лежащих на главной диаго­нали (если перестановка была нечетной, то изменим знак произ­ведения), и сложим все полученные таким образом произведения. Конечно, вычислять таким образом определитель не следует, но это дает хороший способ установления свойств определи­телей.

В приведенной ниже теореме перечислены свойства функции (det1е1 (А), вытекающие непосредственно из ее определения.