Доказательство. Вычитая из обеих частей равенства аО, получаем 0 = аО

(1). аО = а (0 + 0) = аО + аО.

Вычитая из обеих частей равенства аО, получаем 0 = аО. Вторая часть утверждения (1) доказывается аналогично,

(2). О = аО = а (b — b) = аb + а (—b). Следовательно, а ( - b) = - (аb). Вторая часть утверждения (2) доказывается аналогично.

Операция сложения в кольце имеет единичный элемент, назы­ваемый нулем. Операция умножения не обязательно имеет еди­ничный элемент, но если он есть, то является единственным. Кольцо, обладающее единственным элементом относительно умно­жения, называется кольцом с единицей. Этот единичный элемент называется единицей и обозначается символом 1. Тогда для всех а из R имеет место равенство

1а = а1= а.

Относительно операции сложения каждый элемент кольца имеет обратный. Относительно операции умножения элемент, обратный данному элементу, не обязательно существует, но в кольце с единицей обратные элементы могут существовать. Это означает, что для данного элемента а может существовать элемент b, такой, что аb = 1. Если это так, то b называется пра­вым обратным к а. Аналогично если существует элемент с, такой, что cа = 1, то с называется левым обратным к а.

Теорема 1.2.3. В кольце с единицей:

(1)- единица единственна;

(2) если элемент а имеет как правый обратный b, так и левый обратный с, то элемент а называется обратимым, причем обратный ему элемент является единственным (и обозначается через а ^-1);

(3) (a ^--1)^-1 = a

Доказательство. Рассуждения аналогичны приведенным при доказательстве теоремы 1.1.2. Обратимый элемент кольца называется единицей. Множество всех единиц в кольце замкнуто относительно умножения, так как если а и b — единицы, то с = ab имеет обратный элемент, равный с ^-1 =b ^-1 a ^-1