Введение в дискретную алгебру

ГРУППЫ

Группа — это собирательное название некоторых алгебраиче­ских структур. Хотя существуют многие конкретные примеры интересных групп, в математике введено абстрактное понятие группы, так как легче одновременно исследовать все математические системы с общей структурой, чем исследовать каждую из них по отдельности.

Определение 1.1.1. Группой Q называется множество элемен­тов с определенной для каждой пары элементов операцией (обо­значаемой *), обладающее следующими четырьмя свойствами:

1) замкнутость: для каждой пары а и b множества эле­мент с = а*b принадлежит множеству;

2) ассоциативность: для всех а, b и с из множества

а * (b* с) = (а*b) * с;

3) существование единицы: в множестве существует элемент е, называемый единичным элементом и такой, что

а* е = е* а = а

для любого элемента а множества;

4) существование обратных элементов: для любого а из мно­жества существует некоторый элемент bиз множества, называе­мый обратным элементу а и такой, что

а* b = b а = е.

Если группа Q содержит конечное число элементов, то она называется конечной группой, а число элементов в Q называется порядком Q.

Некоторые группы обладают тем дополнительным свойством, что для любых а и b из группы

а* b=b * а.

Это свойство называется коммутативностью. Группы, облада­ющие этим дополнительным свойством, называются коммутатив­ными или абелевыми группами. За исключением некоторого мате­риала этого параграфа, мы всегда будем иметь дело с абелевыми группами.

В случае абелевых групп групповая операция обозначается символом + и называется сложением (даже тогда, когда она не является обычным арифметическим сложением). В этом случае единичный элемент называется нулем и обозначается 0, а обрат­ный элементу а элемент записывается в виде —а, так что

а + (—а) = (—а) + а = 0.

Иногда групповая операция обозначается символом • и назы­вается умножением (даже тогда, когда она не является обычным арифметическим умножением). В этом случае единичный элемент называется единицей и обозначается 1, а обратный элементу а элемент записывается в виде а-¹, так что

а-а^-1 = а^-1-а = 1.

Теорема 1.1.2. Единичный элемент в каждой группе, является единственным. Для каждого элемента группы обратный элемент также является единственным, и (а^-1)^-1 = а.

Доказательство. Предположим, что е и е' — единичные эле­менты группы; тогда е = е*е' = е'. Далее, предположим, что b и b' — элементы, обратные элементу а; тогда

b =b *(а*b') = (b*а)*b' = b'.

Наконец, а^-1а = аа^-1 = 1, так что а— обратный элементу а^-1. Но в силу единственности обратного элемента (а^-1)^-1 = а.

Имеется бесконечно много примеров групп. Многие группы содержат бесконечное число элементов. Примерами являются целые числа относительно сложения, положительные рацио­нальные числа относительно умножения ¹), множество вещественно -нозначных (2 X 2)-матриц относительно сложения. Многие дру­гие группы содержат только конечное число элементов. Приме­рами являются двухэлементное множество {О, 1} относительно операции «исключительного или» (сложения по модулю 2), мно­жество {О, 1,..., 8, 9| относительно сложения по модулю 10 и т. д. В качестве более сложного примера построим конечную ^не -абелевую группу, т. е. менее известную структуру. Одним из способов построения групп с интересной алгебраической струк­турой является исследование преобразований простых геометри­ческих фигур и алгебраическая интерпретация этих преобразо­ваний. Например, равносторонний треугольник с вершинами А, б и С (занумерованными по часовой стрелке) можно вращением или отражением относительно оси отобразить на себя точно шестью различными способами, причем каждое из этих враще­ний и отражений имеет обратное преобразование. Используя некоторые очевидные факты, можно быстро построить алгебраи­ческую группу. Обозначим эти шесть преобразований символами 1, а, Ьb, с, dа и е следующим образом:

1 = (АВС=-+АВС) (нет изменений),

,

а = (АВС-Ъ = (АВС с = (АВС-

ВСА) АС В)

а = (АВС-+ СВ А)

a=(ABC=С_АВ) {вращение против часовой стрелки),

b=(ABC=BCA) (вращение по часовой стрелке),

c=(ABC=ACB) (отражение относительно биссек­трисы угла' A Л)

d=(ABC=CBA) (отражение относительно биссек­трисы угла В),

е = (АВС=•<-> ВАС) ] '(отражение относительно биссек­трисы угла С),

*) Этот пример дает удобный повод предостеречь относительно терминологии. В случае произвольной абелевой группы групповая операция обычно называется сложением, но не обязательно является обычным сложением. В данном примере она является обычным умножением.

2 Р. Блейхут

где преобразование АВС=ВСА означает, что вершина А переходит в вершину В, вершина В переходит в вершину С, а вершина С переходит в вершину А. Таким образом, треугольник поворачивается на 120°. Пусть группа (G, *) определяется мно­жеством ­
G = {1, а, Ь, с, d, е}\

и y*х является элементом группы, обозначающим преобразо­вание, которое получается последовательным выполнением сна­чала преобразования х, а затем преобразования у; например,

а * d = (АВС = ВС А) * (ABС= СВА) = (АВС=ВАС) = е. Поступая таким образом, можно построить таблицу для х*у:

y x	1 a b c d e
	1 a b c d e
а	a b 1 a e c
b	b 1 a e c d
с	c e a 1 b a
d	d c e d 1 b
е	e d c b a 1

Поскольку таблица построена, можно забыть о ее геометри­ческом происхождении. Таблица сама определяет группу. Под­черкнем, что это пример не абелевой группы, так как а*с = с* а. Заметим также, что каждый элемент появляется один раз в каж­дом столбце и в каждой строке. Для конечных групп это выпол­няется всегда.

Нашим последним примером группы является группа пере­становок n букв. Пусть X представляет собой множество { 1, 2,..., п}. Взаимно-однозначное отображение этого множества на самого себя называется перестановкой. Всего имеется п!таких перестановок, и можно определить группу, называемую симме­трической группой и обозначаемую через S_n, элементами которой являются перестановки на множестве X. (Сначала может не­сколько смущать то обстоятельство, что элементами группы яв­ляются операторы — операторы перестановок на множестве X. На самом деле в примере преобразований равностороннего тре­угольника речь также идет о группе перестановок.) Если взять перестановку на выбранных целых числах и переставить их еще раз, то получится другая перестановка на этих целых числах. Выберем в качестве групповой операции * такую композицию перестановок и возьмем, например, п = 4. Всего имеется 4! = 24 перестановок в группе S₄. Типичный элемент группы S₄ равен

a = [(1 2 3 4) = (3 1 4 2) ]

и является перестановкой, заменяющей 1 на 3, 2 на 1, 3 на 4 и 4 на 2. Другой такой перестановкой является

b = [(1 2 3 4)= (4 1 3 2)].

Тогда произведение b* а в группе S₄ равно перестановке, полу­чающейся в результате применения сначала а, а затем b:

Ь*а = [(1 2 3 4)->- (2 3 4 1)],

что является элементом группы S₄. С таким определением умно­жения группа перестановок 5₄ является не абелевой группой, содержащей 24 элемента.

Пусть G — группа, и пусть H — некоторое подмножество в G. Тогда Н называется подгруппой группы G, если оно является группой относительно ограничения операции * на H. Для того чтобы проверить, что непустое множество H является подгруп­пой группы G, необходимо только проверить, что для всех а и b из H элемент а * b принадлежит H (замкнутость) и что элемент, обратный к a из H, также принадлежит H. Остальные группо­вые свойства наследуются из группы G. Как вскоре мы увидим при рассмотрении циклических подгрупп, в случае конечных групп из свойства замкнутости автоматически вытекает даже свойство существования обратного элемента.

Например, множество всех четных чисел и множество чисел, кратных 3, являются подгруппами в множестве всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) относительно опера­ции сложения.

Один из путей построения подгруппы H конечной группы G состоит в выборе произвольного элемента h группы G и формиро­вании H как множества элементов, образованных умножением h на самого себя произвольное число раз. Таким образом, строим последовательность элементов

h, h*h, h*h*h, h*h*h*h,....

обозначая их для простоты через h, h ², h³, h⁴,.... Так как G ко­нечна, то только конечное число этих элементов различно, так что с некоторого момента последовательность начнет повторяться. Первым повторяющимся элементом должен быть сам элемент h, так как если два различных элемента h¹ и h^! равны, то их можно умножить на элемент, обратный h, и получить, что h^(i-1) и h^(j-1) также равны. Далее заметим, что если h,^j = h, то h^(j-1) = 1, еди­ничному элементу группы. Множество H называется подгруп­пой, порожденной элементом h.. Число с элементов в H называется порядком элемента h. Множество элементов h, h², h³,..., h^с = 1 называется циклом. Цикл является подгруппой, так как произ­ведение двух элементов такого вида снова является элементом этого вида, а элемент, обратный элементу h¹, равен h^(c-i) и, следо­вательно, является одним из элементов цикла. Группа, состоя­щая из всех степеней одного из ее элементов, называется цик­лической группой.

Для заданных конечной группы G и подгруппы H существует важная операция, которая устанавливает некоторые взаимо­связи между G и H и называется разложением группы G на смеж­ные классы по H. Обозначим через h₁, h₂, h₃,... элементы из H, причем через h₁ обозначим единичный элемент. Построим таб­лицу следующим образом. Первая строка состоит из элементов подгруппы H, причем первым слева выписан единичный элемент h₁ и каждый элемент из H записан в строке один и только один раз. Выберем произвольный элемент группы G, не содержащийся в первой строке. Назовем его g₂ и используем в качестве первого элемента второй строки. Остальные элементы второй строки получаются умножением слева элементов подгруппы на этот пер­вый элемент. Аналогично строим третью, четвертую и пятую строки: каждый раз в качестве элемента первого столбца выби­раем не использованный на предыдущих шагах элемент группы G. Построение заканчивается тогда, когда после некоторого шага оказывается, что каждый элемент группы записан в некотором месте таблицы. Процесс обрывается в силу конечности G. В ре­зультате получается следующая таблица

h₁=1, h₂, h₃, …. h_n

g_{2 *} h₁ =g₂ g_{2 *} h₂ g_2* h₃ g_{2 *} h_n

g_{3 *} h₁ =g₃ g_{3 *} h₂ g_3* h₃ g_{3 *} h_n

_{. .}

_{. .}

_{. .}

g_{m *} h₁ =g_m g_{m *} h₂ g_m* h₃ g_{m *} h_n

Первый элемент слева в каждой строке называется лидером смеж­ного класса. Каждая строка таблицы называется левым смежным классом, а в случае абелевой группы — просто смежным классом. Если при построении разложения группы на смежные классы использовать правое умножение на элементы группы G вместо левого, то строки называются правыми смежными классами. В силу указанных выше правил построения разложение на смеж­ные классы всегда представляется прямоугольной таблицей, все строки которой полностью заполнены. Докажем теперь, что всегда получается таблица, в которой каждый элемент группы встречается точно один раз.

Теорема 1.1.3. В разложении группы G на смежные классы каждый элемент из G встречается один и только один раз.

Доказательство. Каждый элемент появится хотя бы один раз, так как в противном случае процесс не остановится. Докажем теперь, что каждый элемент не может появиться дважды в одной и той же строке и что один и тот же элемент не может появиться в двух разных строках.

Предположим, что два элемента одной и той же строки, g_{i *} h_k и g_{i *} h_j равны. Тогда умножение. каждого из них на g_i^(-1) дает равенство h_k = hj. Это противоречит тому, что каждый элемент подгруппы выписан в первой строке только один раз.

Предположим, что два элемента различных строк g_i*hj, и g_k*h равны и что k<j.Умножение справа на h_j^-1 приводит к равенству g_i = g_k*h_j * h_j^-1 Тогда g_i порождает k-й смежный класс, так как элемент h_j * h_j^-1 принадлежит k подгруппе.

Это противоречит указанному выше правилу выбора лидеров смеж­ных классов. Следствие 1.1.4. Если Н — подгруппа группы G, то число элементов в Н делит число элементов в G. Таким образом, (Порядок H)- (Число смежных классов G по H) =

= (Порядок G). П

Доказательство следует непосредственно из прямоугольности таблицы разложения на смежные классы.

Теорема 1.1.5. Порядок конечной группы делится на порядок любого из ее элементов.

Доказательство. Группа содержит циклическую подгруппу, порожденную любым из ее элементов; таким образом, утвержде­ние теоремы вытекает из следствия 1.1.4.

КОЛЬЦА

Следующей необходимой нам алгебраической структурой является кольцо. Кольцо представляет собой абстрактное множество, которое является абелевой группой и наделено дополнительной структурой.

Определение 1.2.1. Кольцом R называется множество с двумя определенными на нем операциями: первая называется сложением (обозначается +), вторая называется умножением (обозначается соседним расположением), причем имеют место следующие ак­сиомы:

1) относительно сложения (+) R является абелевой групцой;

2) замкнутость: произведение аЬ принадлежит R для любых а и Ь из R;

3) закон, ассоциативности: '

а (Ьс) = (аЬ) с;
4) закон дистрибутивности:

а (Ь + с) = аЬ + ас, (Ь + с) а = Ьа + ca.

Сложение в кольце всегда коммутативно, а умножение не обязательно должно быть коммутативным. Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором умножение коммутативно, т. е. аb = bа для всех а и Ь из R

Закон дистрибутивности в определении кольца связывает операции сложения и умножения. Этот закон имеет несколько непосредственных следствий, как, например, приведенная ниже теорема.

Теорема 1.2.2. Для произвольных элементов а и b в кольце R

(1 ) a0= 0a

(2) а (—Ь) = (—а) Ь = — (аЬ).....