Теорема 1.2.4

(1) Множество единиц кольца образует группу относительно умножения в кольце

(2) Если с = аb и с — единица, то а имеет правый обратный,

а b — левый обратный элемент..

Доказательство. Непосредственная проверка.

Имеется много известных примеров колец, и ниже приводятся некоторые из них. Представляется поучительным проиллюстри­ровать этими примерами теоремы 1.2.3 и 1.2.4.

1. Множество всех вещественных чисел образует коммута­тивное кольцо с единицей относительно обычных сложения и ум­ножения. Каждый ненулевой элемент кольца является единицей.

2. Множество всех целых чисел (положительных, отрицатель­ных и нуля) образует коммутативное кольцо с единицей относи­тельно обычных сложения и умножения. Это кольцо принято обозначать через 2; его единицами являются только ±1.

3. Множество всех квадратных (N X N)-матриц, элементами которых являются вещественные числа, образует некоммутатив­ное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения. Единицей является единичная (N X N)-матрица. Еди­ницами в кольце служат все невырожденные матрицы.

4. Множество всех квадратных (N X N)-матриц, элементами которых являются целые числа, образует некоммутативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения.

5. Множество всех многочленов от x с вещественными коэф­фициентами образует коммутативное кольцо с единицей отно­сительно сложения и умножения многочленов. Единицей кольца является многочлен нулевой степени p (x) = 1.

1.3. ПОЛЯ

Нестрого говоря, абелевой группой является множество, в кото­ром можно складывать и вычитать, а кольцом — множество, в котором можно складывать, вычитать и умножать. Более сильной алгебраической структурой, называемой полем, является множество, в котором можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Определение 1.3.1. Полем, называется множество с двумя определенными на нем операциями — сложением и умножением, -причем имеют место следующие аксиомы:

1) множество образует абелевую группу по сложению;

2) поле замкнуто относительно умножения, и множество нену­левых элементов образует абелевую группу по умножению;

3) закон дистрибутивности:

(а + b) с = ас + bс для любых а, b, с из поля.

Единичный элемент относительно сложения принято обозна­чать через О/и называть нулем, аддитивный обратный элементу а элемент — через -а; единичный элемент относительно умноже­ния обозначать через 1 и называть единицей, мультипликативный обратный к элементу а элемент — через a ^-1.Под вычитанием (а - b) понимается а + (- b); под делением (а/b) понимается b ^-1 а.

Широко известны следующие примеры полей:

1) R: множество вещественных чисел,

2) С: множество комплексных чисел,

3) Q: множество рациональных чисел.

Все эти поля содержат бесконечное множество элементов. Мы интересуемся полями, содержащими конечное число элемен­тов. Поле с q элементами, если оно существует, называется конеч­ным полем или полем Галуа и обозначается через GF (q).

Что представляет собой наименьшее поле? Оно обязательно содержит нулевой элемент и единичный элемент. На самом деле этого уже достаточно при следующих таблицах сложения и умно­жения:

+	0 1
	0 1 1 0

*	0 1
	0 0 0 1

Это поле GF (2). Проверка показывает, что не существует другого поля с двумя элементами. Ниже конечные поля будут изучены более детально. Сейчас мы приведем два простых примера и опишем их таблицами сло­жения и умножения (вычитание и деление неявно определяются этими же таблицами).

Поле GF(3) = {0, 1, 2} с операциями

+	0 1 2		.	0 1 2
	0 1 2 1 2 0 2 0 1			0 0 0 0 1 2 0 2 1

Поле GF(4)={0,1,2,3} c операциями

+	0 1 2 3		.	0 1 2 3
	0 1 2 3 1 0 3 2 2 3 0 1 3 2 1 0			0 0 0 0 0 1 2 3 0 2 3 1 0 3 1 2

Отметим, что умножение в поле GF (4) не является умножением по модулю 4 и сложение не является сложением по модулю 4.

Существуют многие другие поля Галуа. Даже для этрх приме­ров очень маленьких полей не так легко с помощью простой про­верки установить, что они обладают указанной структурой. Структура этих и больших полей будет разъясняться ниже.

Прежде чем расстаться с этими примерами, заметим, что
поле GF (2) содержится в GF (4), так как в поле GF (4) два эле­
мента 0 и 1 складываются и умножаются точно так же, как они
складываются и умножаются в поле GF (2). Однако GF (2) не со­
держится в GF (3).

Определение 1.3.2. Пусть F- некоторое поле. Подмножество в F называется подполем, если оно само является полем относи­тельно наследуемых из F операций сложения и умножения. В этом случае исходное поле F называется расширением поля.

Для того чтобы доказать, что подмножество конечного поля является подполем, необходимо доказать только, что оно содер­жит ненулевой элемент и что оно замкнуто относительно сложе­ния и умножения. Все остальные необходимые свойства насле­дуются из F. Обратные элементу β по сложению или умножению элементы содержатся в порожденной β циклической группе относительно операции сложения или умножения.

Поле обладает всеми свойствами кольца, а также важным Дополнительным свойством — в нем всегда возможно сокращение.

Сокращение представляет собой слабую форму деления и озна­чает, что если аb = ас, то b = с.

Теорема 1.3.3. Если в произвольном поле аb = ас и а ≠ О, то b = с.

Доказательство. Умножить на а ^-1.

Некоторые кольца могут также удовлетворять этому условию сокращения, но все-таки не быть полями. Простым примером служит кольцо целых чисел. В этом кольце сокращение возможно, но приведенное для теоремы 1.3.3 доказательство не проходит, так как в этом кольце не существует элемента а ^-1. Кольца, в ко­торых всегда возможно сокращение, имеют специальное название.

Определение 1.3.4. Коммутативное кольцо, в котором b = с, если аb = ас и элемент а отличен от нуля, называется областью целостности.