![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Имеется очень важная конструкция, позволяющая по заданному кольцу построить новое кольцо, называемое кольцом отношений. В случае произвольного кольца для построения кольца отношений строятся смежные классы, однако в случае кольца целых чисел кольцо отношений строится просто. В некоторых случаях это построение приводит к полям (в случае, когда кольцо является областью целостности).
Определение 2.2.1. Пусть q — положительное целое число. Кольцом отношений, именуемым также кольцом целых чисел по модулю q и обозначаемым через Z /(q), называется множество {0, 1, 2, …, q-1} с операциями сложения и умножения, определяемыми равенствами а + b = R. q (а + b), а·b = R q (аb).
Элементы, обозначенные через 0, 1, …,q-1, принадлежат как Z, так и Z/(q). Пожалуй, лучше под элементами из Z,/(q) понимать не первые q элементов из Z, а некоторые другие объекты, обозначенные таким же образом. Произвольный элемент а из Z можно отобразить в Z/ (q), полагая а = Rq. [а]. Два элемента а и b из Z, отображаемые в один элемент изZ\(q), сравнимы по модулю q и а = b + mq для некоторого целого т..
Теорема 2.2.2. Кольцо отношений Z\ (q) является кольцом.
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
Как показывают примеры из § 1.4, арифметику полей GF (2) и GF (3) можно описать как сложение и умножение по модулю 2 и 3 соответственно, а арифметику в поле GF (4) так описать нельзя. Таким образом, в принятой нами символике GF (2) =Z/(2), GF (3) = Z/(3), GF (4)≠Z/(4). Общий результат дается следующей теоремой.
Теорема 2.2.3. Кольцо отношений Z/(q) является полем тогда и только тогда, когда q равно простому числу.
Доказательство. Предположим, что q— простое число. Для доказательства того, что кольцо является полем, надо показать, Что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обрат-
ный. Пусть s — ненулевой элемент кольца; тогда 1 ≤ s ≤ q-1. Так как qпросто, то НОД (.s, q ) = 1, и в силу следствия 1.1.4
1 = а q +bs
для некоторых а и b. Таким образом, -;
1 =Rq(1)= Rq(а q +bs)= Rq{Rq(а q) + Rq(bs)}= Rq(bs)= Rq{Rq(b) Rq(s)}=
=Rq{Rq(b), s }
Следовательно, элемент Rq(b) является мультипликативным обратным элементуsотносительно операции умножения по модулю q. Теперь допустим, что q— составное число. Тогда q= r s.. Если данное кольцо представляет собой поле, то rимеет обратный r-1 , и поэтому s= Rq(s)= Rq(r-1r s)= Rq(r-1q)=0
Но s ≠ О, так что мы получили противоречие. Следовательно, рассматриваемое кольцо не является полем.
В случае когда кольцо отношений Z/(q) образует поле, оно также обозначается через GF (q ), чтобы подчеркнуть тот факт, что оно является полем.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 405 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!