Конечные поля, основанные на кольце целых чисел

Имеется очень важная конструкция, позволяющая по заданному кольцу построить новое кольцо, называемое кольцом отношений. В случае произвольного кольца для построения кольца отноше­ний строятся смежные классы, однако в случае кольца целых чи­сел кольцо отношений строится просто. В некоторых случаях это построение приводит к полям (в случае, когда кольцо является об­ластью целостности).

Определение 2.2.1. Пусть q — положительное целое число. Кольцом отношений, именуемым также кольцом целых чисел по модулю q и обозначаемым через Z /(q), называется множество {0, 1, 2, …, q-1} с операциями сложения и умножения, опреде­ляемыми равенствами а + b = R. _q (а + b), а·b = R _q (аb).

Элементы, обозначенные через 0, 1, …,q-1, принадлежат как Z, так и Z/(q). Пожалуй, лучше под элементами из Z,/(q) по­нимать не первые q элементов из Z, а некоторые другие объекты, обозначенные таким же образом. Произвольный элемент а из Z можно отобразить в Z/ (q), полагая а = R_q. [а]. Два элемента а и b из Z, отображаемые в один элемент изZ\(q), сравнимы по модулю q и а = b + mq для некоторого целого т..

Теорема 2.2.2. Кольцо отношений Z\ (q) является кольцом.

Доказательство предоставляется читателю в качестве упраж­нения.

Как показывают примеры из § 1.4, арифметику полей GF (2) и GF (3) можно описать как сложение и умножение по модулю 2 и 3 соответственно, а арифметику в поле GF (4) так описать нельзя. Таким образом, в принятой нами символике GF (2) =Z/(2), GF (3) = Z/(3), GF (4)≠Z/(4). Общий результат дается следующей теоремой.

Теорема 2.2.3. Кольцо отношений Z/(q) является полем тогда и только тогда, когда q равно простому числу.

Доказательство. Предположим, что q— простое число. Для доказательства того, что кольцо является полем, надо показать, Что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обрат-

ный. Пусть s — ненулевой элемент кольца; тогда 1 ≤ s ≤ q-1. Так как qпросто, то НОД (.s, q ) = 1, и в силу следствия 1.1.4

1 = а q +bs

для некоторых а и b. Таким образом, -^;
1 =R_q(1)= R_q(а q +bs)= R_q{R_q(а q) + R_q(bs)}= R_q(bs)= R_q{R_q(b) R_q(s)}=

=R_q{R_q(b), s }

Следовательно, элемент R_q(b) является мультипликативным обратным элементуsотносительно операции умножения по модулю q. Теперь допустим, что q— составное число. Тогда q= r s.. Если данное кольцо представляет собой поле, то rимеет обратный r^-1 , и поэтому s= R_q(s)= R_q(r^-1r s)= R_q(r^-1q)=0

Но s ≠ О, так что мы получили противоречие. Следовательно, рассматриваемое кольцо не является полем.

В случае когда кольцо отношений Z/(q) образует поле, оно также обозначается через GF (q ), чтобы подчеркнуть тот факт, что оно является полем.