![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
2. Прочность при циклически меняющихся напряжениях.
10.1 Динамическое действие нагрузок
До сих пор мы изучали действие на детали сооружений статических нагрузок. Как известно из предыдущего, статические нагрузки от нуля до конечных значений изменяют свою величину настолько медленно, что ускорения, получаемые при этом элементами сооружения, пренебрежимо малы. Однако весьма часто нагрузки имеют динамический характер, так как изменяются во времени с большой скоростью. Действие таких нагрузок сопровождается колебаниями сооружений и их отдельных элементов.
Напряжения, возникающие при колебаниях деталей, могут во много раз превосходить по своей величине напряжения от действия статических нагрузок.
Расчет деталей сооружений на динамическую нагрузку более сложен, чем расчет на статическую нагрузку. Трудность заключается, с одной стороны, в более сложных методах определения внутренних усилий и напряжений, возникающих от действия динамической нагрузки, и, с другой — в более сложных методах определения механических свойств материалов при динамической нагрузке.
Например, при действии ударной нагрузки (т. е. нагрузки чрезвычайно малой продолжительности) многие материалы, которые при статическом действии нагрузок оказывались пластичными, работают как хрупкие; при действии многократно повторяющейся переменной нагрузки прочность материалов резко снижается.
Общий метод расчета на динамическую нагрузку основан на известном из теоретической механики принципе Даламбера. Согласно этому принципу, всякое движущееся тело может рассматриваться как находящееся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции, равную произведению массы тела на его ускорение и направленную в сторону, противоположную ускорению. Поэтому в тех случаях, когда известны силы инерции, без всяких ограничений можно применять метод се-чений и для определения внутренних усилий использовать уравнения равновесия. В тех же случаях, когда определение сил инерции затруднительно, так, например, при ударе, для определения динамических напряжений и деформаций используется закон сохранения энергии.
10.1.1 Вычисление напряжений при равноускоренном движении
Во многих случаях ускорения, с которыми перемещаются детали машин, известны. Динамические напряжения в этих случаях вычисляются без затруднений.
Рассмотрим случай подъема груза весом G вверх с ускорением а (рис. 10.1). Определить напряжение в канате, пренебрегая его весом.
Прикладываем к грузу силу инерции, равную та = Gа/g и направленную вниз. Применим метод сечений. Делаем разрез n-п иотбрасываем верхнюю часть каната. Усилие в канате обозначаем N д. Так как напряжения при центральном растяжении равномерно распределены по сечению, то можем принять, что
N д = s д × А,
где s д - искомое динамическое напряжение.
F |
n |
n |
a |
G |
![]() |
n |
n |
G |
![]() |
Nд = σд ×А |
Рис. 10.1 |
Проектируя все силы, в том числе и силы инерции, на вертикальную ось, получаем
,
откуда
где - напряжение при статическом действии груза;
- динамический коэффициент.
Таким образом, динамические напряжения могут быть выражены через статические напряжения и динамический коэффициент. Это особенно удобно, так как величину динамического коэффициента часто приходится определять опытным путем.
.
10.1.2 Определение перемещений и напряжений при ударе
Рассмотрим случай продольного удара груза по неподвижному телу. Пусть груз весом G падает с высоты h на неподвижный стержень (рис. 10.2).
m1 |
G |
m2 |
h |
D lдин |
Скорость тела в момент удара определяется по известной формуле свободного падения
Эта скорость за очень короткий промежуток времени удара, исчисляемый тысячными или сотыми долями секунды, упа-
Рис. 10.2 дет до нуля.
Благодаря большой величине ускорения (замедления) возникает значительная сила инерции, величиной которой и определяется действие удара.
Однако теоретически трудно установить закон изменения скорости, а, следовательно, и величину силы инерции. Здесь применяется другой путь, основанный на законе сохранения энергии и на следующих допущениях:
1. Напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности, так что закон Гука при ударе сохраняет свою силу.
2. Тела после удара не отделяются друг от друга.
3. Масса неподвижного стержня считается малой по сравнению с массой ударяющего тела, поэтому в расчет не принимается.
4. Потерей части энергии, перешедшей в теплоту и в энергию колебатель-ного движения соударяющихся тел, пренебрегаем.
Приравняем работу падающего груза потенциальной энергии деформации стержня.
Работа, совершаемая весом падающего груза,
,
где - перемещение в точке удара, равное укорочению стержня.
Потенциальная энергия деформации при сжатии равна
Из этих двух уравнений получаем
,
или
.
Разделив все члены этого уравнения на ЕА, получим
.
Но Gl/EA=Dlcm - укорочение стержня от статически приложенной нагруз-
ки G.
Тогда
.
Решив это квадратное уравнение относительно D l дин, получим
.
Оставляя знак плюс, (решение со знаком минус перед радикалом противоречит физическому смыслу задачи), получаем окончательно
, (10.1)
где Кдин - динамический коэффициент.
Разделив обе части последнего уравнения на длину стержня и умножив на модуль упругости Е, перейдем, на основании закона Гука, от деформаций к напряжениям
. (10.2)
Из этих, формул видно, что величины динамического напряжения и перемещения зависят от величины статической деформации ударяемого тела. Чем больше статическая деформация (при прочих равных условиях), тем меньше динамические напряжения. Вот почему для смягчения удара применяют прокладки (резиновые, пружинные), дающие большие деформации.
При сжимающем ударе, во избежание продольного изгиба динамические напряжения не должны превосходить критических напряжений.
Аналогичный вид имеют формулы и для случая поперечного (изгибающего) удара, только в том случае вместо D lcm следует принимать статический прогиб балки в месте удара - z ст, а вместо D lдин динамический прогиб - z дин.
10.1.3 Частные случаи
1. Если h = 0, т. е. имеет место внезапное приложение нагрузки, то из формул (10.1) и (10.2) получим
D l дин = 2D l cт; sдин = 2sст.
При внезапном приложении нагрузки деформации и напряжения вдвое больше, чем при статическом действии той же нагрузки.
2. Если высота падения h значительно больше статической деформации D l cт, то для определения динамического коэффициента получим следующую приближенную формулу:
10.2 Прочность при циклически меняющихся напряжениях
Большинство деталей машин в рабочих условиях испытывают переменные напряжения, циклически изменяющиеся во времени. Они возникают в детали от изменения нагрузки, а также в связи с изменением положения их сечений по отношению к постоянной нагрузке (например, вращение детали). Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов нагружения может наступить внезапное разрушение детали. Это явление, называется усталостью материалов. Различают два вида усталости: многоцикловое усталостное разрушение, характеризуемое повреждением и разрушением материала за большое число циклов нагружения (более 105) при напряжениях, меньших предела текучести материала, и малоцикловая усталость, которая наблюдается при относительно малом числе циклов (порядка 103…105), когда действующие напряжения вызывают упругопластические деформации, что характерно для высоконапряженных конструкций. Различие условий протекания повреждения и разрушения при многоцикловой и малоцикловой усталости определяет необходимость раздельного их рассмотрения.
Особенность многоцикловой усталости заключается в том, что предшествующие разрушению повреждения происходят в условиях очень малых или в отсутствии циклических макропластических деформаций. Разрушение при этом имеет хрупкий характер. Начальное повреждение и разрушение связано с наличием пластических деформаций в отдельных микрообъемах, что связано с неоднородностью структуры реальных материалов. Можно выделить три стадии этого процесса: накопление микроскопических повреждений до образования первых макротрещин; развитие одной или нескольких трещин; развитие разрушения с разделением тела на части. Как правило, эти три стадии хорошо отражаются в картине усталостного излома: наличие зоны зарождения трещины, как правило, около концентратора напряжений, зоны ее распространения (гладкая притертая зона) и зоны «долома».
Число циклов до разрушения зависит от характеристики цикла на-гружения. Законы изменения переменных напряжений могут быть различными, но все их можно представить в форме простейших гармоник синусоиды или косинусоиды. На рис. 10.3, а показано периодическое изменение напряжений во времени от наибольшего sмах до наименьшего smin и обратно.
а) б) в)
Рис. 10.3
Параметрами цикла являются:
- sмах - максимальное (наибольшее по алгебраическому значению) напря-
жение цикла;
- smin - минимальное (наименьшее по алгебраическому значению) напря-
жение цикла;
- sm = - среднее напряжение или постоянная составляющая
цикла; (10.3)
- sа = - амплитудное напряжение или переменная состав-
ляющая цикла. (10.4)
Отношение минимального напряжения цикла к максимальному называют
коэффициентом асимметрии цикла напряжений Rs = smin / sмах.
Цикл напряжения полностью определяется любыми двумя его параметрами. В зависимости от величины коэффициента асимметрии циклы напряжений разделяют на симметричные и асимметричные, на знакопостоянные и знакопеременные. Напряжения smax, smin и s т могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Амплитуда s а всегда положительна. В случае, когда smax = - smin, Rs = -1, цикл напряжений называют симметричным (рис. 10.3, б),если smin = 0, Rs = 0 - отнулевым (рис. 10.3, в).
Циклы, у которых коэффициенты асимметрии Rs одинаковы, называются подобными.
Из формул (10.3) и (10.4) следует, что smax = s т + sа.
В случае переменных касательных напряжений остаются в силе все приведенные выше термины и соотношения с заменой s на t. Если период цикла Т, то за промежуток времени t общее число циклов N = t / T.
Наиболее опасным является симметричный цикл нагружения (рис. 10.3, б).
Для расчетов на прочность при действии повторно-переменных напряжений необходимо знать механические характеристики материала. Они определяются путем испытаний образцов на специальных машинах. Наиболее простым и распространенным является испытание образцов при симметричном цикле напряжений, когда Rs = -1. Такой цикл обозначается R -1. Симметричный цикл осуществляется, как правило, при нагружении образца по схеме, так называемого, кругового изгиба: цилиндрический образец вращается в плоскости действия постоянной изгибающей нагрузки, прикладываемой по схеме чистого или поперечного изгиба. При этом напряжения в периферийных точках сечения образца изменяются по синусоидальному закону. Широко используется также пульсирующий, или отнулевой цикл нагружения (рис. 10.3, б), легко реализуемый при испытании на пульсаторах.
Результаты испытаний представляются в виде кривых усталости, отражающих зависимость числа циклов до полного разрушения NK от макси-мального по модулю напряжения цикла |s|mах при заданном Rs (рис. 10.4).
После испытания первого образца на диаграмме появляется точка А, координаты которой N1 и s1max(или просто s1).
Затем испытывают второй образец, создавая в нем несколько меньшее напряжение s2Естественно, что он разрушится при большем числе циклов N2. На диаграмму наносят точку В с координатами N2 и s2 и т. д.
Испытав все образцы и соединив точки А,В,
С и т. д. плавной линией, получим некоторую
Рис. 10.4 кривую ABCD, которая называется кривой
усталости (или кривой Вёлера).Эта кривая характерна тем, что, начиная с некоторого напряжения, она идет практически горизонтально (участок CD). Это означает, что при определенном напряжении
s-1 образец может, не разрушаясь, выдержать бесконечно большое число циклов.
Наибольшее значение максимального по величине напряжения цикла, которому материал может сопротивляться без разрушения неограниченно долго, называется пределом выносливости (пределом усталости) и обозначается s-1.
Как показывает опыт, образец из углеродистой стали, выдержавший 107 циклов (это число называется базой испытаний), при дальнейшем нагруже-нии может выдержать неограниченное число циклов. Поэтому после прохождения 107 циклов для стальных образцов опыты прекращают.
Напряжение s-1, соответствующее N = 107, принимается за предел выносливости.
Для цветных металлов и для закаленных сталей не удается установить такое число циклов, выдержав которое, образец не разрушился бы в дальнейшем. Для этих случаев введено понятие предела ограниченной выносливости, как наибольшего по величине максимального напряжения цикла, при котором образец способен выдержать определенное число циклов (обычно N = 108).
В настоящее время для многих материалов пределы выносливости найдены и приводятся в справочниках. Из этих данных видно, что для большинства металлов предел выносливости при симметричном цикле меньше предела текучести. Обычно, для сталей, предел усталости при изгибе составляет s-1» (0,4 ¸ 0,5) s ВР . Для высокопрочных сталей s-1» (400 + 0,167 s ВР) МПа. Для цветных металлов s-1» (0,25 ¸ 0,5) s ВР . При кручении для обычных сталей имеем t-1» 0,56 s-1 . Для хрупких металлов t-1» 0,8 s-1 .
Естественно, что определить экспериментальным путем предел усталости для каждого из возможных значений коэффициента асимметрии цикла R невозможно. На практике поступают следующим образом: для нескольких характерных значений R находят предел усталости s R и строят диаграмму усталостной прочности материала (рис. 10.5), где по оси абсцисс откладываются значения среднего напряжения s m, а по оси ординат - амплитудного напряжения s а, предельных циклов.
Рис. 10.5
Каждая пара значений s m и s а, характеризующая предельный цикл изображается точкой на этой диаграмме. Совокупность таких точек образует кривую АВ (рис. 10.5), отделяющую безопасную область (содержащую начало координат) от области циклических разрушений. На рис. 10.5 точка А диаграммы соответствует пределу прочности при статическом нагружении, а точка В - при симметричном цикле нагружения. Любой из возможных циклов может быть изображен на этой диаграмме рабочей точкой (P.T.) с координатами (s m, s а) и в зависимости от того, в какую из областей попала точка можно судить о безопасности данного цикла.
10.2.1 Влияние концентраций напряжений, состояния поверхности
и размеров детали на усталостную прочность
На величину предела усталости влияют многие факторы. Рассмотрим некоторые из них. Одним из основных факторов, оказывающих существенное влияние на усталостную прочность, является концентрация напряжений.
Основным показателем местных напряжений является коэффициент концентрации напряжений:
, (10.5)
где smax - наибольшее местное напряжение;
s - номинальное напряжение.
Например, для полосы с отверстием (рис. 10.6) от действия продольной силы F в кольцевых сечениях, имеем:
σ |
F |
smax |
A |
A |
F |
где - предел усталости при симметричном цикле на
гладких образцах;
Рис. 10.6
- предел усталости при симметричном цикле на образцах с наличием
концентрации напряжений.
Между КT и К -1 существует следующая зависимость:
, (10.6)
где q - коэффициент чувствительности материала к местным напряжениям,
(q» 1 - для высокопрочных сталей; q = 0,6 ¸ 0,8 - для конструкционных
сталей).
При расчетах на усталостную прочность, особенности, связанные с качеством обработки поверхности детали, учитываются коэффициентом качества поверхности, получаемом при симметричных циклах нагружения:
, (10.7)
где s-1 - предел усталостной прочности, полученный на испытаниях образцов,
имеющих стандартную обработку поверхности;
s-1 n - предел выносливости рассматриваемой детали.
На рис. 10.7 приведены значения b в зависимости от качества обработки поверхности стального изделия и прочности материала s BP.
Прямая 1 относится к шлифованным образцам, 2 - к образцам с полированной поверхностью, 3 - к образцам, имеющим поверхность обработанную резцом, и, наконец, 4 - к образцам поверхность которых обработана после проката.
Для учета масштабного фактора вводятся соответствующий коэффициент:
Рис. 10.7
. (10.8)
где s-1 D , t-1 D - предел усталостной прочности рассматриваемой детали на рас-
тяжение и сдвиг, соответственно;
s-1,t-1 - предел усталостной прочности образца с диаметром
d = (8…12) ×10-3 м.
Графики es, et изображены на рис. 10.8, где кривая 1 относится к углеродистой стали, 2 - к полированной стали, 3 - к полированной стали с наличием концентрации напряжений, 4 - к ста-
лям, имеющим высокую сте-
Рис. 10.8 пень концентраций напряжений.
10.2.2 Запас усталостной прочности и его определение
Сначала построим диаграмму усталостной прочности (часто, для простоты рассуждений предельную линию представляют в виде прямой) и покажем на ней рабочую точку М цикла (с координатами s m и s а) в случае, если рассматриваемый элемент испытывает только простое растяжение и сжатие (рис. 10.9).
Рассмотрим все те циклы, рабочие точки которых лежат на одной прямой (рис. 10.9) и для которых справедливо выражение s а = s m × tga. В этом случае
.
где R - коэффициент асимметрии цикла.
Отсюда можно сделать вывод о том, что все подобные циклы лежат на одной прямой. Тогда, под запасом усталостной прочности будем понимать отношение отрезка ON к отрезку OM (рис. 10.9):
, (10.9)
где точка M соответствует действующему циклу, а точка N получается вследствие пересечения предельной прямой и продолжения отрезка OM.
Это отношение характеризует степень близости рабочих условий к предельным для данного материала. В частном случае при постоянных статических нагрузках s а = 0, данное определение запаса прочности совпадает с обычным.
Для определения (т.е. в ситуации когда действуют лишь нормальные напря-
Рис. 10.9 жения) в инженерной практике применя-
ется как графический, так и аналитический способ. При графическом способе строго по масштабу строится диаграмма предельных напряжений в системе координат s а и s m. Далее, на этой диаграмме наносится рабочая точка и определяется отношение величин отрезка ON и OM.
Для определения расчетных зависимостей для воспользуемся условием подобия треугольников OND и OMK и получим:
. (10.10) Полученный коэффициент запаса соответствует идеальному образцу. Реальная же его величина зависит, как отмечалось выше, от геометрии, размеров и состояния поверхности образца, учитываемых коэффициентами К -1, es и b, соответственно. Для этого необходимо предел усталости при симметричном нагружении уменьшить в
раз, или, что тоже самое, амплитудное напряжение цикла увеличить в
раз. И тогда (10.10) принимает вид:
, (10.11)
где
. (10.12)
Аналогичным образом могут быть получены соотношения усталостной прочности и при чистом сдвиге. Эксперименты показывают, что диаграмма усталостной прочности для сдвига заметно отличается от прямой линии, свойственной простому растяжению-сжатию, и имеет вид кривой. В первом приближении эту кривую в координатных осях t a, t m можно представить в виде двух наклонных, как это изображено на рис. 10.10. Причем, если одна из них (ближняя к оси ординат) соответствует разрушению образца вследствие усталостных явлений, то другая - по причине наступления пластического состояния.
![]() |
Рис. 10.10
В данном случае расчетная формула для записывается в виде
, (10.13)
где - эмпирическая величина, определенная на основе обработки
экспериментальных данных.
При сложном напряженном состоянии, т.е. если в рабочей точке при действии внешних нагрузок одновременно возникают как нормальные, так и касательные напряжения, для вычисления nR применяется следующая приближенная формула:
, (10.14)
где nR - искомый коэффициент запаса усталостной прочности;
- коэффициент запаса усталостной прочности в предположении, что ка-
сательные напряжения в рабочей точке отсутствуют;
- коэффициент запаса прочности по усталости при предположении, что в
рабочей точке нормальные напряжения отсутствуют.
Резюмируя, заметим, что в настоящее время в связи с тем, что физические основы теории твердого деформируемого тела недостаточно развиты, многие предпосылки современной теории усталостной прочности базируются на эмпирической основе. Отсутствие твердых предпосылок в теории выносливости, в современном виде лишает ее нужной строгости. Так как полученные эмпирические зависимости не являются универсальными, сами результаты расчетов являются достаточно приближенными. Однако указанные приближения оказываются допустимыми для решения инженерных задач.
Вопросы для самопроверки
1. Какие нагрузки называются статическими и какие динамическими?
2. Как определяется интенсивность погонной инерционной нагрузки?
3. Что называют ударом?
4. Что называют динамическим коэффициентом при ударе?
5. Что представляет собой внезапное действие нагрузки и чему равен динамический коэффициент при таком действии?
6. Как определяются напряжения и перемещения при ударе?
7. Какое движение называется колебательным?
8. Какие колебания называют свободными?
9. Какие колебания называют вынужденными?
10. Что называют частотой, периодом и амплитудой колебаний?
11. Что представляет собой явление резонанса?
12. Что понимается под выносливостью?
13. Какими параметрами характеризуется цикл переменных напряжений?
ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. Степин П.А.
Сопротивление материалов. Учебник для вузов/ Степин П.А. - М.: ВШ, 1988.
2. Дарков А.В.
Сопротивление материалов. Учебник для вузов/ Дарков А.В., Шпиро Г.С. -
М.: ВШ, 1989.
3. Ицкович Г.М.
Руководство к решению задач по сопротивлению материалов/ Ицкович Г.М.,
Минин Л.С., Винокуров А.И. - М.: ВШ, 1999.
4. Сборник задач по сопротивлению материалов (под ред. Качурина В.К.) М.: Наука, 1972.
Дополнительная:
5. Пономарев А.Т.
Сопротивление материалов. Курс лекций. Учебное пособие/ Пономарев А.Т.,
Зорин В.А. – М.: Приор-издат, 2002.
6. Феодосьев В.И.
Сопротивление материалов. Учебник для вузов/ Феодосьев В.И. – М.: Изд.
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
7. Колкунов Н.В.
Основы расчета упругих оболочек. Учебное пособие для вузов / Колку-
нов Н.В. – М.: ВШ, 1972.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 1837 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!