Динамическое действие нагрузок

2. Прочность при циклически меняющихся напряжениях.

10.1 Динамическое действие нагрузок

До сих пор мы изучали действие на детали сооружений статических нагрузок. Как известно из предыдущего, статические нагрузки от нуля до конечных значений изменяют свою величину настолько медленно, что ускорения, получаемые при этом элементами сооружения, пре­небрежимо малы. Однако весьма часто нагрузки имеют динамический характер, так как изменяются во времени с большой скоростью. Действие таких нагрузок сопровождается колебаниями сооружений и их отдельных элементов.

Напряжения, возникающие при колебаниях деталей, могут во мно­го раз превосходить по своей величине напряжения от действия ста­тических нагрузок.

Расчет деталей сооружений на динамическую нагрузку более сло­жен, чем расчет на статическую нагрузку. Трудность заключается, с одной стороны, в более сложных методах определения внутренних усилий и напряжений, возникающих от действия динамической на­грузки, и, с другой — в более сложных методах определения меха­нических свойств материалов при динамической нагрузке.

Например, при действии ударной нагрузки (т. е. нагрузки чрез­вычайно малой продолжительности) многие материалы, которые при статическом действии нагрузок оказывались пластичными, работают как хрупкие; при действии многократно повторяющейся переменной нагрузки прочность материалов резко снижается.

Общий метод расчета на динамическую нагрузку основан на известном из теоретической механики принципе Даламбера. Согласно этому принципу, всякое движущееся тело может рассматриваться как находящееся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции, равную произведению массы тела на его ускорение и направленную в сторону, противоположную ускорению. Поэтому в тех случаях, когда известны силы инерции, без всяких ограничений можно применять метод се-чений и для определения внутренних усилий использовать уравнения равновесия. В тех же случаях, когда определение сил инерции затруднительно, так, например, при ударе, для определения динамических напряжений и деформаций используется закон сохранения энергии.

10.1.1 Вычисление напряжений при равноускоренном движении

Во многих случаях ускорения, с которыми перемещаются детали машин, известны. Динамические напряжения в этих случаях вычис­ляются без затруднений.

Рассмотрим случай подъема груза весом G вверх с ускорением а (рис. 10.1). Оп­ределить напряжение в канате, пренебрегая его весом.

Прикладываем к грузу силу инерции, равную та = Gа/g и направленную вниз. Применим метод сечений. Делаем разрез n-п иотбрасы­ваем верхнюю часть каната. Усилие в канате обозначаем N _д. Так как напряжения при центральном растяжении равномерно распределены по сечению, то можем принять, что

N _д = s _д × А,

где s _д - искомое динамическое напряжение.

F

n

n

a

G

n

n

G

Nд = σд ×А

Рис. 10.1

Проектируя все силы, в том числе и силы инерции, на вертикальную ось, получаем

,

откуда

где - напряжение при статическом действии груза;

- динамический коэффициент.

Таким образом, динамические напряжения могут быть выражены через статические напряжения и динамический коэффициент. Это особенно удобно, так как величину динамического коэффициента часто приходится определять опытным путем.

.

10.1.2 Определение перемещений и напряжений при ударе

Рассмотрим случай продольного удара груза по неподвиж­ному телу. Пусть груз весом G падает с высоты h на неподвижный стержень (рис. 10.2).

m1

G

m2

h

D lдин

Скорость тела в момент удара определяется по известной формуле свободного падения

Эта скорость за очень короткий промежуток времени удара, исчисляемый тысячными или сотыми долями секунды, упа-

Рис. 10.2 дет до нуля.

Благодаря большой величине ус­корения (замедления) возникает значительная сила инерции, вели­чиной которой и определяется действие удара.

Однако теоретически трудно установить закон изменения скорости, а, следовательно, и величину силы инерции. Здесь применяется другой путь, основанный на законе сохранения энергии и на следующих до­пущениях:

1. Напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности, так что закон Гука при ударе сохраняет свою силу.

2. Тела после удара не отделяются друг от друга.

3. Масса неподвижного стержня считается малой по сравнению с массой ударяющего тела, поэтому в расчет не принимается.

4. Потерей части энергии, перешедшей в теплоту и в энергию коле­батель-ного движения соударяющихся тел, пренебрегаем.

Приравняем работу падающего груза потенциальной энергии де­формации стержня.

Работа, совершаемая весом падающего груза,

,

где - перемещение в точке удара, равное укорочению стержня.

Потенциальная энергия деформации при сжатии равна

Из этих двух уравнений получаем

,

или

.

Разделив все члены этого уравнения на ЕА, получим

.

Но Gl/EA=Dl_cm - укорочение стержня от статически прило­женной нагруз-

ки G.

Тогда

.

Решив это квадратное уравнение относительно D l _дин, получим

.

Оставляя знак плюс, (решение со знаком минус перед радикалом противоречит физическому смыслу задачи), получаем окончательно

, (10.1)

где К_дин - динамический коэффициент.

Разделив обе части последнего уравнения на длину стержня и умно­жив на модуль упругости Е, перейдем, на основании закона Гука, от деформаций к напряжениям

. (10.2)

Из этих, формул видно, что величины динамического напряжения и перемещения зависят от величины статической деформации ударяе­мого тела. Чем больше статическая деформация (при прочих равных условиях), тем меньше динамические напряжения. Вот почему для смягчения удара применяют прокладки (резиновые, пружинные), дающие большие деформации.

При сжимающем ударе, во избежание продольного изгиба динами­ческие напряжения не должны превосходить критических напряжений.

Аналогичный вид имеют формулы и для случая поперечного (изги­бающего) удара, только в том случае вместо D l_cm следует принимать статический прогиб балки в месте удара - z _ст, а вместо D l_дин дина­мический прогиб - z _дин.

10.1.3 Частные случаи

1. Если h = 0, т. е. имеет место внезапное приложение нагрузки, то из формул (10.1) и (10.2) получим

D l _дин = 2D l _cт; s_дин = 2s_ст.

При внезапном приложении нагрузки деформации и напряжения вдвое больше, чем при статическом действии той же нагрузки.

2. Если высота падения h значительно больше статической дефор­мации D l _cт, то для определения динамического коэффициента полу­чим следующую приближенную формулу:

10.2 Прочность при циклически меняющихся напряжениях

Большинство деталей машин в рабочих условиях испытывают пе­ременные напряжения, циклически изменяющиеся во времени. Они воз­никают в детали от изменения нагрузки, а также в связи с изменением положения их сечений по отношению к постоянной нагрузке (например, вращение детали). Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов нагружения может наступить внезап­ное разрушение детали. Это явление, называется усталостью матери­алов. Различают два вида усталости: многоцикловое усталостное раз­рушение, характеризуемое повреждением и разрушением материала за большое число циклов нагружения (более 10⁵) при напряжениях, мень­ших предела текучести материала, и малоцикловая усталость, которая наблюдается при относительно малом числе циклов (порядка 10³…10⁵), когда действующие напряжения вызывают упругопластические дефор­мации, что характерно для высоконапряженных конструкций. Разли­чие условий протекания повреждения и разрушения при многоцикло­вой и малоцикловой усталости определяет необходимость раздельного их рассмотрения.

Особенность многоцикловой усталости заключается в том, что предшествующие разрушению повреждения происходят в условиях очень малых или в отсутствии циклических макропластических де­формаций. Разрушение при этом имеет хрупкий характер. Начальное повреждение и разрушение связано с наличием пластических деформа­ций в отдельных микрообъемах, что связано с неоднородностью струк­туры реальных материалов. Можно выделить три стадии этого процес­са: накопление микроскопических повреждений до образования первых макротрещин; развитие одной или нескольких трещин; развитие раз­рушения с разделением тела на части. Как правило, эти три стадии хорошо отражаются в картине усталостного излома: наличие зоны за­рождения трещины, как правило, около концентратора напряжений, зоны ее распространения (гладкая притертая зона) и зоны «долома».

Число циклов до разрушения зависит от характеристики цикла на-гружения. Законы изменения переменных напряжений могут быть раз­личными, но все их можно представить в форме простейших гармоник синусоиды или косинусоиды. На рис. 10.3, а показано периодическое из­менение напряжений во времени от наибольшего s_мах до наименьшего s_min и обратно.

а) б) в)

Рис. 10.3

Параметрами цикла являются:

- s_мах - максимальное (наибольшее по алгебраическому значению) напря-

жение цикла;

- s_min - минимальное (наименьшее по алгебраическому значению) напря-

жение цикла;

- s_m = - среднее напряжение или постоянная составляющая

цикла; (10.3)

- s_а = - амплитудное напряжение или переменная состав-

ляющая цикла. (10.4)

Отношение минимального напряжения цикла к максимальному называют

коэффициентом асимметрии цикла напряжений R_s = s_min / s_мах.

Цикл напряжения полностью определяется любыми двумя его параметрами. В зависимости от величины коэффициента асимметрии циклы напряжений разделяют на симметричные и асимметричные, на знакопостоянные и знакопеременные. Напряжения s_max, s_min и s _т могут быть положитель­ными, отрицательными и равными нулю. Амплитуда s _а всегда положительна. В случае, когда s_max = - s_min, R_s = -1, цикл напряже­ний называют симметричным (рис. 10.3, б),если s_min = 0, R_s = 0 - отнулевым (рис. 10.3, в).

Циклы, у которых коэффициенты асимметрии R_s оди­наковы, называются подобными.

Из формул (10.3) и (10.4) следует, что s_max = s _т + s_а.

В случае переменных касательных напряжений оста­ются в силе все приведенные выше термины и соотноше­ния с заменой s на t. Если период цикла Т, то за промежуток времени t об­щее число циклов N = t / T.

Наиболее опасным является симметрич­ный цикл нагружения (рис. 10.3, б).

Для расчетов на прочность при действии повторно-переменных напряжений необходимо знать механические характеристики материала. Они определяются путем испытаний образцов на специальных машинах. Наиболее простым и распространенным является испытание образцов при симметричном цикле напряжений, когда R_s = -1. Такой цикл обозначается R _-1. Симметричный цикл осуществля­ется, как правило, при нагружении образца по схеме, так называемо­го, кругового изгиба: цилиндрический образец вращается в плоскости действия постоянной изгибающей нагрузки, прикладываемой по схеме чистого или поперечного изгиба. При этом напряжения в периферий­ных точках сечения образца изменяются по синусоидальному закону. Широко используется также пульсирующий, или отнулевой цикл на­гружения (рис. 10.3, б), легко реализуемый при испытании на пульсато­рах.

Результаты испытаний представляются в виде кривых усталости, отражающих зависимость числа циклов до полного разрушения N_K от макси-мального по модулю напряжения цикла |s|_mах при заданном R_s (рис. 10.4).

После испытания первого образца на диаграмме появляется точка А, координаты которой N₁ и s_1max(или просто s₁).

Затем испытывают второй образец, создавая в нем не­сколько меньшее напряжение s₂Естественно, что он раз­рушится при большем числе циклов N₂. На диаграмму наносят точку В с координа­тами N₂ и s₂ и т. д.

Испытав все образцы и соединив точки А,В,

С и т. д. плавной линией, получим не­которую

Рис. 10.4 кривую ABCD, ко­торая называется кривой

усталости (или кривой Вёлера).Эта кривая характерна тем, что, начиная с некоторого напряжения, она идет практически горизонтально (участок CD). Это означает, что при определенном напряжении

s_-1 образец может, не разрушаясь, вы­держать бесконечно большое число циклов.

Наибольшее значение максимального по величине напряжения цикла, которому материал может сопротивляться без разрушения неограни­ченно долго, называется пределом выносливости (пре­делом усталости) и обозначается s_-1.

Как показывает опыт, образец из углеродистой ста­ли, выдержавший 10⁷ циклов (это число называется базой испы­таний), при дальнейшем нагруже-нии может выдержать неограниченное число циклов. Поэтому после прохождения 10⁷ циклов для стальных образцов опыты прекращают.

Напряжение s_-1, соответствующее N = 10⁷, принимается за предел выносливости.

Для цветных металлов и для закаленных сталей не удается устано­вить такое число циклов, выдержав которое, образец не разрушился бы в дальнейшем. Для этих случаев введено понятие преде­ла ограниченной выносливости, как наиболь­шего по величине максимального напряжения цикла, при котором образец способен выдержать определенное число циклов (обычно N = 10⁸).

В настоящее время для многих материалов пределы выносливости найдены и приводятся в справочниках. Из этих данных видно, что для большинства металлов предел выносливости при симметричном цикле меньше предела текучести. Обычно, для сталей, предел усталости при изгибе составляет s_-1» (0,4 ¸ 0,5) s _ВР . Для высокопрочных сталей s_-1» (400 + 0,167 s _ВР) МПа. Для цветных металлов s_-1» (0,25 ¸ 0,5) s _ВР . При кручении для обычных сталей имеем t_-1» 0,56 s_-1 . Для хрупких металлов t_-1» 0,8 s_-1 .

Естественно, что определить экспериментальным путем предел усталости для каждого из возможных значений коэффициента асимметрии цикла R невозможно. На практике поступают следую­щим образом: для нескольких характерных значений R находят предел усталости s _R и строят диаграмму усталостной прочности ма­териала (рис. 10.5), где по оси абсцисс откладываются значения среднего напряжения s _m, а по оси ординат - амплитудного напря­жения s _а, предельных циклов.

Рис. 10.5

Каждая пара значений s _m и s _а, характеризующая предельный цикл изображается точкой на этой диаграмме. Совокупность таких точек образует кривую АВ (рис. 10.5), отделяющую безопасную область (содержащую начало координат) от области циклических разрушений. На рис. 10.5 точка А диаграммы соответствует пределу прочности при стати­ческом нагружении, а точка В - при симметрич­ном цикле нагруже­ния. Любой из воз­можных циклов мо­жет быть изображен на этой диаграмме рабочей точкой (P.T.) с координатами (s _m, s _а) и в зависимости от того, в какую из областей попала точка можно судить о безопасности данного цикла.

10.2.1 Влияние концентраций напряжений, состояния поверхности

и размеров детали на усталостную прочность

На величину предела усталости влия­ют многие факторы. Рассмотрим некото­рые из них. Одним из основных факторов, оказывающих существенное влияние на усталостную прочность, является кон­центрация напряжений.

Основным пока­зателем местных напряжений является коэффициент концентрации напряже­ний:

, (10.5)

где s_max - наибольшее местное напряже­ние;

s - номинальное напряжение.

Например, для полосы с отверстием (рис. 10.6) от действия продольной силы F в кольцевых сечениях, имеем:

σ

.

F

smax

Определенный по (10.5) коэффициент концентрации

A

A

напряже­ний не учитывает многих реальных свойств ма-териала (его неод­нородность, пластичность и т. д.), в связи с чем, вводится понятие эффективного коэффициента концентрации К_-1.:

F

,

где - предел усталости при симметричном цикле на

гладких образцах;

Рис. 10.6

- предел усталости при симметричном цикле на об­разцах с наличием

концентрации напряжений.

Между К_T и К _-1 существует следующая зависимость:

, (10.6)

где q - коэффициент чувствительности материала к местным на­пряжениям,

(q» 1 - для высокопрочных сталей; q = 0,6 ¸ 0,8 - для конструкционных

сталей).

При расчетах на усталостную прочность, особенности, связан­ные с качеством обработки поверхности детали, учитываются коэф­фициентом качества поверхности, получаемом при симметричных циклах нагружения:

, (10.7)

где s_-1 - предел усталостной прочности, полученный на испыта­ниях образцов,

имеющих стандартную обработку поверхности;

s_{-1 n} - пре­дел выносливости рас­сматриваемой детали.

На рис. 10.7 приведе­ны значения b в зависи­мости от качества обра­ботки поверхности сталь­ного изделия и прочнос­ти материала s _BP.

Прямая 1 относится к шлифованным образцам, 2 - к образцам с полированной поверхностью, 3 - к образцам, имеющим поверхность обработанную резцом, и, наконец, 4 - к образцам поверхность которых обработана после проката.

Для учета масштабного фактора вводятся соответствующий коэффициент:

Рис. 10.7 . (10.8)

где s_{-1 D} , t_{-1 D} - предел усталостной прочности рассматриваемой де­тали на рас-

тяжение и сдвиг, соответственно;

s_-1,t_-1 - предел уста­лостной прочности образца с диаметром

d = (8…12) ×10^{-3 м.}

Графики e_s, e_t изображены на рис. 10.8, где кривая 1 относится к углеродистой стали, 2 - к полированной стали, 3 - к полированной стали с наличием концентрации напряжений, 4 - к ста-

лям, име­ющим высокую сте-

Рис. 10.8 пень концентраций напряжений.

10.2.2 Запас усталостной прочности и его определение

Сначала построим диаграмму усталостной прочности (часто, для простоты рассуждений предельную линию представляют в виде прямой) и покажем на ней рабочую точку М цикла (с коорди­натами s _m и s _а) в случае, если рассматриваемый элемент испыты­вает только простое растяжение и сжатие (рис. 10.9).

Рассмотрим все те циклы, рабочие точки которых лежат на од­ной прямой (рис. 10.9) и для которых справедливо выражение s _а = s _m × tga. В этом случае

.

где R - коэффициент асимметрии цикла.

Отсюда можно сделать вывод о том, что все подобные циклы лежат на одной прямой. Тогда, под запасом усталостной прочности будем понимать отношение отрезка ON к отрезку OM (рис. 10.9):

, (10.9)

где точка M соответствует действующему циклу, а точка N получа­ется вследствие пересечения предельной прямой и продолжения отрезка OM.

Это отношение характеризует степень близости рабочих усло­вий к предельным для данного материала. В частном случае при постоянных статических нагрузках s _а = 0, данное определение за­паса прочности совпадает с обычным.

Для определения (т.е. в ситуации когда действуют лишь нор­мальные напря-

Рис. 10.9 жения) в инженерной практике применя-

ется как графи­ческий, так и аналити­ческий способ. При гра­фическом способе стро­го по масштабу строится диаграмма предельных напряжений в системе координат s _а и s _m. Да­лее, на этой диаграмме наносится рабочая точка и определяется отношение величин отрезка ON и OM.

Для определения расчетных зависимостей для воспользуемся условием подобия треуголь­ников OND и OMK и получим:

. (10.10) Полученный коэффициент запаса соответствует идеальному об­разцу. Реальная же его величина зависит, как отмечалось выше, от геометрии, размеров и состояния поверхности образца, учитывае­мых коэффициентами К _-1, e_s и b, соответственно. Для этого необ­ходимо предел усталости при симметричном нагружении умень­шить в раз, или, что тоже самое, амплитудное напряжение цикла увеличить в раз. И тогда (10.10) принимает вид:

, (10.11)

где

. (10.12)

Аналогичным образом могут быть получены соотношения уста­лостной прочности и при чистом сдвиге. Эксперименты показы­вают, что диаграмма усталостной прочности для сдвига заметно отличается от прямой линии, свойственной простому растяжению-сжатию, и имеет вид кривой. В первом приближении эту кривую в координатных осях t _a, t _m можно представить в виде двух наклон­ных, как это изображено на рис. 10.10. Причем, если одна из них (ближняя к оси ординат) соответствует разрушению образца вследствие усталостных явлений, то другая - по причине наступления пластического состояния.

Рис. 10.10

В данном случае расчетная формула для записывается в виде

, (10.13)

где - эмпирическая величина, определенная на осно­ве обработки

экспериментальных данных.

При сложном напряженном состоянии, т.е. если в рабочей точ­ке при действии внешних нагрузок одновременно возникают как нормальные, так и касательные напряжения, для вычисления n_R применяется следующая приближенная формула:

, (10.14)

где n_R - искомый коэффициент запаса усталостной прочности;

- коэффициент запаса усталостной прочности в предположе­нии, что ка-

сательные напряжения в рабочей точке отсутствуют;

- коэффициент запаса прочности по усталости при предполо­жении, что в

рабочей точке нормальные напряжения отсутствуют.

Резюмируя, заметим, что в настоящее время в связи с тем, что физические осно­вы теории твердого деформируемого тела недостаточно развиты, многие предпосылки современной теории усталостной прочности базируются на эмпирической основе. Отсутствие твердых предпо­сылок в теории выносливости, в современном виде лишает ее нуж­ной строгости. Так как полученные эмпирические зависимости не являются универсальными, сами результаты расчетов являются до­статочно приближенными. Однако указанные приближения оказы­ваются допустимыми для решения инженерных задач.

Вопросы для самопроверки

1. Какие нагрузки называются статическими и какие динамическими?

2. Как определяется интенсивность погонной инерционной нагрузки?

3. Что называют ударом?

4. Что называют динамическим коэффициентом при ударе?

5. Что представляет собой внезапное действие нагрузки и чему равен динамический коэффициент при таком действии?

6. Как определяются напряжения и перемещения при ударе?

7. Какое движение называется колебательным?

8. Какие колебания называют свободными?

9. Какие колебания называют вынужденными?

10. Что называют частотой, периодом и амплитудой колебаний?

11. Что представляет собой явление резонанса?

12. Что понимается под выносливостью?

13. Какими параметрами характеризуется цикл переменных напряжений?

ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Степин П.А.

Сопротивление материалов. Учебник для вузов/ Степин П.А. - М.: ВШ, 1988.

2. Дарков А.В.

Сопротивление материалов. Учебник для вузов/ Дарков А.В., Шпиро Г.С. -

М.: ВШ, 1989.

3. Ицкович Г.М.

Руководство к решению задач по сопротивлению материалов/ Ицкович Г.М.,

Минин Л.С., Винокуров А.И. - М.: ВШ, 1999.

4. Сборник задач по сопротивлению материалов (под ред. Качурина В.К.) М.: Наука, 1972.

Дополнительная:

5. Пономарев А.Т.

Сопротивление материалов. Курс лекций. Учебное пособие/ Пономарев А.Т.,

Зорин В.А. – М.: Приор-издат, 2002.

6. Феодосьев В.И.

Сопротивление материалов. Учебник для вузов/ Феодосьев В.И. – М.: Изд.

МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.

7. Колкунов Н.В.

Основы расчета упругих оболочек. Учебное пособие для вузов / Колку-

нов Н.В. – М.: ВШ, 1972.