Перемещения в балках при чистом изгибе

Лекция 7

Вопросы лекции:

1. Линейные и угловые перемещения в балках.

2. Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки.

3. Метод начальных параметров.

7.1 Линейные и угловые перемещения в балках при прямом изгибе

В предыдущей лекции были рассмотрены вопросы, относящиеся к расчету балок на прочность. Однако в больший случаев практического расчета деталей, работающих на изгиб необходимо также производить расчет их на жесткость.

Под расчетом на жесткость понимается оценка упругой податливости балки под действием нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать допускаемых величин. Для выполнения таких расчетов необходимо научиться вычислять перемещения попереч- ных сечений балки под действием любой внешней нагрузки. Кроме того, перемещения приходится определять и при расчете статически неопределимых конструкций (балок, рам, арок и т.д.).

В основе теории деформации при изгибе лежат:

1. Гипотеза плоских сечений.

2. Учитываются деформации только от изгибающего момента, деформациями от поперечной силы пренебрегают как малыми.

С учетом принятых допущений рассмотрим деформацию балки при прямом изгибе. Под действием внешних нагрузок, расположенных в одной из главных плоскостей балки, наблюда­ется искривление ее оси в той же плоскости, происходит так на­зываемый прямой изгиб. Поперечные сечения при этом повора­чиваются и одновременно получают поступательные перемеще­ния (рис. 7.1).

z

x

Рис. 7.1

Искривленная ось балки называется упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к недеформированной оси балки, называет­ся прогибом балки в данном сечении и обозначается z.

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями коор­динаты x и их опре­деление необходимо для расчета жест­кости. Рассмотрим изгиб стержня в од­ной из главных пло­скостей например, в плоскости xz. Как показывает практи­ка, в составе реаль­ных сооружений стержни испытыва­ют весьма малые искривления (z _max/ l = 10^-2 …10^-3, где z _max - мак­симальный прогиб; l - пролет балки).

7.2 Определение перемещений путем интегрирования уравнения

изогнутой оси балки

В этом случае неизвестными функциями, определяющими по­ложение точек поперечных сечений балки, являются z (x) и j (x) = a (x) (рис. 7.1). Совокупность значений этих параметров по дли­не балки образуют две функции от координаты х - функцию пере­мещений z(х) и функцию углов поворота j (х). Из геометрических построений (рис. 7.1) наглядно видно, что угол наклона каса­тельной к оси х и угол поворота поперечных сечений при произвольном х равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать

. (7.1)

Из курса математического анализа известно, что кривизна пло­ской кривой z(х) выражается следующей формулой:

.

Однако, в связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

. (7.2)

Учитывая выражение, полученное в предыдущей лекции,

из (7.2) получим следующее важное диф­ференциальное соотношение

, (7.3)

где I_у - момент инерции поперечного сечения балки, относительно ее нейт-

ральной оси;

Е - модуль упругости материала;

E I_у - изгиб­ная жесткость балки.

Уравнение (7.3), строго говоря, справедливо для случая чис­того изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_у (х) имеет по­стоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равно­сильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота попе­речного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно по­логой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точ­ности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значе­ния в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов z(х) и углов поворота j (х), необходимо решить уравнение (7.3), с уче­том граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (7.3), записанное для каждого участка, после интегрирования, со­держит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n - конечное число участков, из 2 n числа граничных условий получим 2 n алгебраических уравнений относительно 2 n постоянных ин­тегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_у (х) и E I_у (х), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования урав­нения (7.3) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

.

Здесь C ₁ и С ₂ произвольные постоянные интегрирования долж­ны быть определены из граничных условий.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно при­менить метод начальных параметров.

7. 3 Метод начальных параметров

Метод начальных параметров получил широкое примене­ние при решении различных инженерных задач. Его разработа­ли советские ученые Н.П. Пузыревский, Н.К. Снитко, Н.И. Бе­зухое, А.А. Уманский и др.

Для того чтобы сократить число неизвестных произволь­ных постоянных интегрирования до двух, необходимо обеспе­чить равенство соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство будет соблюдаться, если в уравнениях мо­ментов, углов поворота и прогибов при переходе от участка к участку повторяются все силовые факторы предыдущего участ­ка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на ле­вых границах своих силовых участков. Для обеспечения этих условий при составлении дифференциальных уравнений упру­гой линии и их интегрировании должны соблюдаться следую­щие условия:

1. Начало координат (общее для всех си­ловых участков) выбирается на конце балки:

- если есть заделка, то в заделке,

- если на конце есть опора, то на опоре,

- если на обоих концах консоли, то безразлично, на каком конце начало координат.

2. При составлении уравнения для конкретного сечения учитываются нагрузки, расположенные от начала координат до сечения; распределенная нагрузка q продолжается до сечения в соответствии с правилами Клебша. При наличии сосредоточенного момента М его значение представлять в виде произведения М(z - l)⁰, где l – расстояние от начала координат до сечения, в котором этот момент прило­жен.

3. При действии распределенной нагрузки, не доходящей до правого конца рассматриваемого участка, она продолжается до этого конца и одновременно уравновешивается противоположно на­правленной нагрузкой той же интенсивности («дополнитель­ная» и «уравновешивающая» нагрузки показываются на рисунках штриховыми линиями).

4. Интегрировать уравнение на всех участках, не раскрывая скобок.

Рассмотрим балку (рис. 7.2) с постоянным поперечным сече­нием, нагруженную вза­имоуравновешенной си­стемой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикаль­ные перемещения сече­ний балки в положи­тельном направлении оси z). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось x проходила вдоль оси балки, а ось z была бы направлена вверх.

На балку действуют: момент М, сосре­доточенная сила F и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 7.2).

z

F

x

l

Рис. 7.2

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вноси­мые в уравнение упругой линии, различными типами внешних си­ловых факторов. Для этого составим выражение изгибающих мо­ментов для каждого из пяти участков заданной системы.

x

Участок I (0£ x £ l ₁ ) M_{y ( x )} = 0.

Участок II (l ₁ £ x £ l ₂ ) M_{y ( x )} = M.

Участок III (l ₂ £ x £ l ₃ ) M_{y ( x )} = M + F (x - l ₂).

Участок IV (l ₃£ x £ l ₄) M_{y (z)} = M + F (x - l ₂) + .

Участок V (l ₄ £ х £ l ₅) M_{у (х)} = M + F (х - l ₂) + .

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего мо­мента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящие перед ним следует учитывать при х > l_i и иг­норировать при х £ l_i. На основании этого, обобщенное выражение момента M_у (х) для произвольного сечения х может быть записано единой формулой:

M_у (х) = M + F (х - l ₂) + . (7.4)

Подставляя (7.4) в (7.3) и дважды интегрируя, получим выра­жение для прогибов:

E I_у z (x) = C ₀ + C ₁ x + + + -

- . (7.5)

Постоянные интегрирования C ₀ и C ₁ по своей сути означают:

C ₀ = E I_y z (0), C ₁ = (7.6)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий оконча­тельный вид:

E I_y z (x) = E I_yz ₀ + x + + +

+ - . (7.7)

Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

E I_y j (x) = + + + -

- . (7.8)

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба z ₀ , угла поворота j₀ в начале системы коорди­нат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому дан­ный метод и называется методом начальных параметров.

7.4 Пример расчета

Для стальной балки, изображенной на рис. 7.3, определить методом начальных параметров углы поворота се­чения и прогиб в точке D. Модуль упругости Е = 2×10⁸ кН/м². По­перечное сечение балки - квадратное со стороной a = 0,2 м.

Рис. 7.3

Решение

1. Определение опорных реакций балки (рис. 7.3).

S M ₀ =0, R_B (b + c + e) - q ×(c + e)×[ b + 0,5×(c + e)] + M + P b = 0,

кН;

S M_B =0, R ₀ (b + c + e) - 0,5× q ×(c + e)² - M + P ×(c + e) = 0,

кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнение равновесия сил по оси z:

S z =0; R ₀ + R_B + F - q (c + e) = 7,86 + 14,14 + 8 - 10×3 = 30 - 30 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров.

Исполь­зуя метод начальных параметров, для рассматриваемой балки запи­шем:

Из условий закрепления балки при x = 0 имеем: z ₀ = 0; М ₀=0.

Подставляя числовые значения, получим:

.

В данном выражении неизвестно j₀. Из условия закрепления балки при x = b + c + e имеем, что z = 0. Вычисляя прогиб на правом конце балки и приравнивая его к нулю, получим уравнение для определения j₀:

.

Отсюда E I j₀ = -20,84 кН×м². Теперь выражение для определе­ния прогибов будет иметь вид:

.

Соответственно, выражение для определения углов поворота будет:

.

С помощью этих выражений определяем z_D и j _D:

кH×м³.

кН×м².

Вычисляем жесткость сечения (Е = 2×10⁸ кН/м²):

кН×м².

Тогда, окончательно,

м.

рад.

Перемещение точки D происходит вниз, а сечение поворачива­ется по часовой стрелке.

Вопросы для самопроверки

1. Какие перемещения получают поперечные сечения балок при прямом изгибе?

2. Запишите основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

3. Что называется жесткостью сечения при изгибе?

4. Как из основного (приближенного) дифференциального уравнения изогнутой оси балки получаются выражения углов поворота и прогибов ее сечений?

5. Из каких условий определяются постоянные интегрирования, входящие в уравнение углов поворота и прогибов сечений балки?

6. Запишите универсальное уравнение метода начальных параметров.

7. Перечислите основные для использования метода начальных параметров.

8. Что надо сделать, если распределенная нагрузка не доходит до правого конца балки?