Ламінарна течія рідин та газів по трубах. Формула Пуазейля

При русі рідини у круглій трубі швидкість рівна нулю поблизу стінок труби та максимальна на осі труби. Припускаючи течію ламінарною, знайдемо закон зміни швидкості із відстанню r від осі труби. Виділимо уявно циліндричний об’єм рідини радіуса r і довжини l (рис. 1.81). При стаціонарній течії у трубі постійного перерізу швидкості усіх частинок рідини залишаються незмінними. Отже, сума зовнішніх сил прикладених до будь-якого об’єму рідини, рівна нулю. Тому прирівняємо до нуля суму сил в’язкості і тиску, що діють на циліндричний об’єм рідини:

(1.196)

Слід зазначити, що рівнодійна сил тиску напрямлена уздовж потоку (уздовж осі х), а сила в’язкого тертя, прикладена до бокової поверхні виділеного циліндра, – проти потоку, оскільки < 0. Виконавши скорочення і поділивши (6.44) на dx, отримаємо:

(1.197)

Величина градієнту тиску dp / dx в (1.197) не залежить від радіусу r, оскільки і в поперечному перерізі x = const не змінюється. Це дозволяє проінтегрувати вираз 1.197:

(1.198)

Рівняння (1.198) дає можливість розрахувати розподіл швидкостей за умови, що біля стінок труби ця швидкість рівна нулю. Із (1.198) отримаємо:

(1.199)

Тиск рівномірно падає уздовж осі х, тому та не залежить від х. Параболічний розподіл швидкостей в одному із перерізів труби наведено на рисунку 1.81. Потік вектора швидкості через поперечний переріз труби, або об’єм рідини, що протікає через переріз за одиницю часу, – витрата рідини – виявляється рівним:

(1.200)

Для практичних потреб витрата рідини визначається формулою Пуазейля:

(1.201)

Тут – різниця тисків на кінцях труби довжиною l. Слід зазначити на суттєву залежність пропускної здатності труби від її радіуса R. При заданому тиску на вході водогінної труби збільшення діаметри труби вдвічі призводить до зростання її пропускної здатності в 16 разів!

Середня по перерізу швидкість ламінарної течії визначається із формули Пуазейля:

(1.202)

Або різниця тисків, як функція швидкості визначається:

(1.203)