Деформація згину

Балка, тобто стрижень, який зазнає згину, деформується таким чином, що спочатку прямі осі балки АА ₁, BB ₁, NN ₁ стають колами із центром у т. О. (рис. 1.70). Розглянемо згин балки під дією зовнішньої сили , нехтуючи її вагою. Усі волокна, що лежать нижче лінії NN ₁, видовжуються (у них виникають напруги розтягу), а волокна, що лежали вище цієї лінії, стискуються (у них виникають напруги стиску). Довжина лінії NN ₁ залишається незмінною. Ця лінія називається нейтральною лінією. Переріз (недеформованого) стрижня площиною, що проходить через неї перпендикулярно до площини рисунку, називається нейтральним перерізом. Нехай R – радіус кривизни нейтральної лінії NN ₁. Тоді її довжина l ₀ = R ∙α, де α – центральний кут, що спирається на дугу NN ₁. Розглянемо волокно стрижня, що знаходиться на відстані у від нейтрального перерізу. (Величина у додатна, якщо волокно знаходиться вище нейтрального перерізу та від’ємна, якщо воно знаходиться нижче). Для не досить товстого стрижня довжина даного волокна буде l = (R + y)α, а видовження Δ l = l – l ₀= y α. Отже, натяг, що діє уздовж даного волокна, , або

(1.165)

Таким чином, натяг змінюється лінійно із відстанню у. Нижче за нейтральний переріз натяг від’ємний, тобто є тиском. Будемо вважати, що сума усіх сил натягу, що діють у кожному нормальному перерізі стрижня, рівна нулю, тобто або в силу (1.165) , де dS – елемент площі нормального поперечного перерізу. Інтегрування ведеться по усьому поперечному перерізу. Звідси видно, що нейтральна лінія та нейтральний переріз проходять через центр тяжіння поперечного перерізу стрижня. Із співвідношення слідує, що момент сил натягу , що діють на переріз АВ, не залежить від того, відносно якої осі він береться. Для обчислення краще взяти вісь, що перпендикулярна до площини рисунка і проходить через точку О ₁. Очевидно,

, (1.166)

або

, (1.167)

де введено позначення

(1.168)

Величина І називається моментом інерції поперечного перерізу стрижня по аналогії із відповідною величиною, що вводиться при розгляді обертання тіла навколо нерухомої осі. Однак на відміну від останньої величини, що має вимірюється в кг·м², величина (1.168) є чисто геометрична із розмірністю четвертого ступеня довжини.

Відношення залежить від розмірів і форми перерізу і називається осьовим моментом опору:

, (1.169)

а рівняння (1.167) можна представити у вигляді:

(1.170)

Для розрахунку міцності балок необхідно знати розподіл напруг τ, що виникають при відомих моментах зовнішніх сил. Такий розподіл можна отримати із рівності (1.167):

(1.171)

Якщо поперечний переріз бруса має форму прямокутника із шириною а і висотою b, то

(1.172)

Для колового поперечного перерізу радіуса r

(1.173)

Відповідні їм осьові моменти опору:

та (1.174)

Із (1.170) слідує, що міцність балок зростає при зростанні осьового моменту опору, причому, як слідує із (1.174) міцність балки прямокутного перерізу досягається більш ефективно за рахунок збільшення її висоти b.

Спрямуємо вісь X уздовж лінії недеформованого стрижня. Вісь Y спрямуємо до неї перпендикулярно і розмістимо в площині згину. Тоді рівняння нейтральної лінії зігнутого стрижня можна представити у вигляді у = у (х).

Згідно відомої формули:

(1.175)

Якщо згин малий (y ′ << 1), то квадратом похідної можна знехтувати. У цьому наближенні:

(1.176)

Остання формула використовується для розрахунку зміщення вільного кінця балки – стріли прогину – під дією зосередженої сили, прикладеної до балки. Так у випадку, зображеному на рисунку 1.71, стріла прогину визначається

(1.177)

Якщо балка має прямокутний переріз, то її стріла прогину дуже швидко зменшується у міру зростання висоти балки b, оскільки I ~ b ³ (див. 1.172).

Для економії матеріалу іноді використовують порожнисті балки. Така балка значно легше суцільної, а її осьовий момент опору (див. 1.172) залишається досить великим. Для підвищення жорсткості використовують конструкції, що називаються фермами (рис. 1.72). Ферми – це досить легкі ажурні конструкції, висота яких (що більшою мірою визначає момент опору), може досягати десятків метрів.

Як приклад на рисунку 1.73 показана типова конструкція підвісного моста. Необхідна жорсткість такого моста забезпечується фермами, що складаються з жорстких елементів і тросів. Рекордну довжину 3910 метрів має міст, що з’єднує два острови в Японії. Довжина його центрального прольоту L складає 1990 метрів при висоті опор b = 297 метрів.