Рух тіл змінної маси

Існує багато випадків, коли маса тіла змінюється в процесі руху за рахунок неперервного відокремлення або приєднання речовини (наприклад, ракета, реактивний літак, рухома на воді баржа, яку навантажують піском, чи швидка вагонетка, в яку досипають щебінь, тощо. Виявляється, що закони руху таких тіл змінної маси можна отримати, виходячи із закону збереження імпульсу. Для цього, як приклад, розглянемо політ ракети у космос (рис. 1.24).

Нехай у початковий момент часу t ракета має масу m, її швидкість в інерціальній системі відліку, пов’язаній із далекими зорями, рівна . Таким чином, її початковий імпульс .

У момент часу маса ракети внаслідок витікання газів змінилася на величину і стала рівна . Зауважимо, що . Імпульс ракети стане рівним . Імпульс газів буде: , причому . Тоді в момент часу імпульс системи “ракета-гази” рівний:

.

Знайдемо приріст імпульсу:

(1.73)

Оскільки за другим законом Ньютона , то

(1.74)

або

(1.75)

Рівняння (1.75) називається рівнянням Мещерського і описує реактивних рух ракети. У цьому рівнянні може бути будь-якою зовнішньою силою.

Введемо позначення. Доданок – називається реактивною силою, швидкість витікання газів відносно ракети – відносною швидкістю. Таким чином, можна зробити висновок про те, що реактивна сила тим більша, чим більша швидкість згорання палива і чим більша відносна швидкість .

Розглянемо приклад руху ракети лише за рахунок реактивної сили тяги двигуна. У цьому випадку рівнянням її руху буде:

(1.76)

У проекції на вертикальну вісь останнє рівняння матиме вигляд:

(1.77)

Або . Після інтегрування отримаємо:

(1.78)

Константу С знайдемо із початкових умов: t = 0, υ = 0, m = m ₀, де m ₀ – початкова (стартова) маса ракети. Тоді C = υ _в ln(m ₀). Таким чином, рівняння (1.78) набуде вигляду:

(1.79)

або

(1.80)

Рівняння (1.80) називається формулою Ціолковського. Воно дозволяє обчислити таку стартову масу палива, необхідну для того, щоб ракета досягла в кінці свого польоту швидкості .

Користуючись рівнянням Ціолковського, оцінимо затрати при космічних польотах.

Політ до планет. _в = 4 км/с, кінцева швидкість ракети = 16 км/с. Тоді стартова маса ракети m ₀ ≈ 60∙ m. Такі ж міркування слід застосувати при розрахунку зворотного польоту ракети у напрямку до Землі. Тоді m ₀ ≈ 60∙ m ', де m ' – кінцева маса ракети після її повернення на Землю. Таким чином, відношення стартової маси ракети на початку польоту до кінцевої маси ракети після його завершення: m ₀ / m ' = 3600.

Політ до зірок. Відстані до зірок вимірюються світловими роками – від найближчої зірки світло йде до Землі близько 4 років. Тому для досягнення навіть найближчих зірок потрібні космічні кораблі, швидкості яких близькі до швидкості світла c. При швидкості ракети = 0,25∙ c та швидкості витікання газів _в = 10 км/с на кожну тонну корисного вантажу має припадати 5∙10³³²⁷ тон палива! Для порівняння – маса Сонця M_C = 2∙10³⁰ кг, маса галактики M_гал ≈ 10⁵³ кг. Навряд чи є сенс говорити про рух настільки фантастично гігантського космічного корабля щодо Всесвіту, що має в порівнянні з ним мізерну масу.

Отже, для міжзоряних перельотів ракети на хімічному паливі абсолютно непридатні. Для перетворення ракети в зореліт, перш за все, необхідно підвищити швидкість витікання струменя, наблизивши її до швидкості світла. Ідеальним був би випадок _в = с. Так було б у фотонній ракеті, в якій роль газового струменя мав би грати світловий пучок. Реактивна сила в фотонній ракеті здійснювалася б тиском світла. Перетворення речовини у випромінювання постійно відбувається всередині зірок. Цей процес здійснюється і на Землі (вибухи атомних і водневих бомб). Чи можливо надати йому керований характер і будуть використані в фотонних ракети – на це питання відповідати зараз передчасно.