Закон динаміки системи матеріальних точок

Третій закон Ньютона в поєднанні із другим та третім законами дозволяє перейти від динаміки окремої матеріальної точки до динаміки довільної механічної системи.

Розглянемо задачу опису руху системи матеріальних точок. Матеріальні точки, що входять в матеріальну систему, можуть взаємодіяти одна з одною (внутрішні сили), а також з матеріальними точками, що не входять до складу системи (зовнішні сили). Якщо зовнішні сили відсутні чи взаємно скомпенсовані, то система матеріальних точок називається замкненою або ізольованою. Сказане справджується і для твердого тіла, оскільки його можна змоделювати системою з n матеріальних точок. Якщо тіло абсолютно тверде, його модель представляє собою незмінну систему матеріальних точок.

Розглянемо систему n матеріальних точок масою m_і кожна, що мають імпульси . В загальному випадку на довільну i -ту матеріальну точку системи діють:

а) внутрішні сили зі сторони матеріальних точок, що входять до складу системи:

(1.55)

де – сила, що діє на i- ту матеріальну точку зі сторони k -ї, причому i ≠ k, оскільки матеріальна точка не може взаємодіяти сама з собою. Тому загальна кількість точок, що взаємодіють із вибраною i- тою точкою буде n – 1;

б) зовнішні сили, прикладені до i -ї матеріальної точки зі сторони тіл, що не входять до складу системи. Позначимо символом рівнодійну усіх зовнішніх сил, що діють на i -ту матеріальну точку. Тоді рівняння руху кожної матеріальної точки можна записати у наступному вигляді:

(1.56)

Число таких рівнянь рівне кількості матеріальних точок (n), що входять до системи. Розв’язання даної системи із врахуванням початкових умов для кожної матеріальної точки дозволяє описати рух системи в цілому. Однак такий спосіб опису руху системи матеріальних точок виявляється надзвичайно громіздким, оскільки вимагає розв’язання великої кількості диференціальних рівнянь.

Зручніше описати рух системи матеріальних точок з допомогою одного рівняння, яке можна отримати, якщо скласти почленно праві та ліві частини системи рівнянь (1.57):

(1.57)

Згідно третього закону Ньютона , тому . Тоді рівняння (1.57) спроститься до виду:

(1.58)

Враховуючи, що похідна від суми похідних рівна сумі похідних від кожної величини, що входить до суми, рівняння (1.58) можна перетворити до наступного вигляду:

, або (1.59)

де величина називається імпульсом системи n матеріальних точок, – векторна сума усіх зовнішніх сил, прикладених до усіх матеріальних точок системи.