![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Виду
Доказательство основной теоремы опирается на две леммы.
Лемма 1: если квадратичная форма
(1)
не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования её можно перевести в форму, содержащую квадрат хотя бы одной переменной.
□ По условию форма содержит лишь члены с произведениями переменных, пусть
при
i≠j и
≠0 – один из таких членов. Применим линейное преобразование переменных:
, k≠i, k≠j.
Её определитель отличен от нуля.
Квадратичная форма будет содержать даже два члена с квадратными переменными:
Эти слагаемые не могут исчезнуть при приведении подобных членов, так как любое из остальных слагаемых содержит хотя бы одну переменную, отличную или
. ■
Лемма 2: если квадратичная форма (1) содержит член и ещё хотя бы один член с этой переменной
, то с помощью линейного преобразования её можно перевести в форму от переменных
вида:
(2)
где q – квадратичная форма от n – 1 переменной, не содержащей переменной .
□ 1.) Выделим в квадратичной форме (1) сумму членов с переменной
,
где - сумма остальных членов, не содержащих
.
2.) Обозначим
по правилу нахождения квадрата многочлена найдем и в полученном выражении выделим также сумму членов с переменной
. Таковым будет квадрат члена
и удвоенные произведения этого члена на остальные члены многочлена:
(4)
где - сумма членов, не содержащих
3.) Разделим обе части равенства (4) на ≠0 и вычтем полученное равенство почленно из равенства (3). Приведя подобные члены, получим следующее:
Выражение в правой части не содержит переменной и является квадратичной формой от n-1 переменных
. Обозначим её через q, а коэффициент
- через
. Тогда получим равенство:
4.) Произведем линейные преобразования переменных:
Её определитель отличен от нуля. Тогда q есть квадратичная форма от n-1 переменных , а квадратичная форма
приведена к виду (2). ■
Теорема (основная): всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного преобразования переменных.
□ 1.) Если квадратичная форма (1) не содержит квадратов переменных, то, используя лемму (1), приведем её с помощью линейного преобразования к виду, содержащему квадрат хотя бы одной переменной.
2.) Далее в соответствие с леммой 2 при помощи ещё одного линейного преобразования переменных переведём полученную квадратичную форму в сумму члена с квадратом какой- либо переменной и квадратичной формы от остальных n-1 переменных. Применяем описанный процесс до тех пор, пока исходная квадратичная форма станет содержать лишь квадраты переменных, то есть канонический вид:
(5)
где m ≤ n и отличны от нуля. ■
Следствие: любая квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду с помощью линейного преобразования переменных.
□ Применим к квадратичной форме канонического вида (5) линейное преобразование переменных:
(6)
с неравным нулю определителем.
Квадратичная форма примет нормальный вид:
(7)
где при
и
при
. ■
Замечания: 1.) линейное преобразование переменных, непосредственно приводящее квадратичную форму (1) к виду (7), является композицией всех линейных преобразований переменных, используемых в основной теореме и её следствии;
2.) выполняя различные линейные преобразования переменных, в итоге можно получить отличающиеся по внешнему виду окончательные результаты;
3.) описанный в теореме способ приведения квадратичной формы к каноническому виду применяется на практике; он был предложен известным французским математиком Ж. Л. Лагранжем (1736 - 1813);
4.) квадратичные формы имеют важное свойство, называемое законом инерции. Это свойство выражает следующая теорема.
Теорема 2: если квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью двух различных линейных преобразований переменных, то число р положительных коэффициентов при квадратах новых переменных, так же как и число q отрицательных коэффициентов, будет в обоих случаях одно и то же.
Из закона инерции следует, что число p + q всех ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа её приведения к каноническому виду. Это число p + q называется рангом квадратичной формы и всегда равно рангу её матрицы, а число р называется положительным индексом квадратичной формы. Квадратичная форма называется положительно определенной, если при любых одновременно не равных нулю значениях переменных она принимает положительные значения.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 280 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!