Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть в пространстве задана линейно независимая система из n -векторов , а матрица А=(), , имеет своими столбцами координаты этих векторов в некотором ортонормированном базисе . Тогда для матрицы рассмотрим элемент . . То есть матрица является матрицей Грама системы векторов .
Так как , то (5)
Из равенства (2) следует что .
Теорема 2: квадрат объёма n-мерного параллелепипеда равен квадрату определителя матрицы или . (6)
§14. Группа движений евклидова пространства
Определение 1: движением пространства называется его аффинное преобразование, не меняющее расстояние между точками.
Замечание 1: из определения расстояния между точками (§11) следует, что ассоциированное с движением векторное преобразование сохраняет длины векторов, значит, является ортогональным преобразованием, кроме того при этом преобразовании не меняются скалярное произведение и углы между векторами.
Определение 2: система координат называется прямоугольной декартовой или ортонормированной, если векторы образуют ортонормированный базис векторного евклидова пространства , связанной с .
Замечание 2: при движении ортонормированная система координат отображается также на ортонормированную систему координат.
Следующие теоремы являются непосредственными следствиями аналогичных теорем из §8 и теоремы (3) из §10.
Теорема 1: при движении пространства координаты произвольной точки М и координаты её образа М в одной и той же ПДСК связаны формулами вида:
(1)
где матрица () ортогональна.
Если , то движение (1) I рода, если же , то это движение II рода.
Теорема 2: всякое преобразование пространства вида (1) с ортогональной матрицей (), является движением.
Теорема 3: движение пространства вполне определяется заданием двух соответствующих ортонормированных систем координат (реперов).
Теорема 4: множество движений пространства Еn является группой.
□ 1) Так как движения и - аффинные преобразования, то и их композиция - аффинное преобразование согласно теореме (1) из §9. Так как и не меняют расстояний между точками, то также не меняют расстояний между точками, а значит, является движением.
2) Так как движение - аффинное преобразование, то - также аффинное преобразование. Так как сохраняет расстояние между точками, то также сохраняет расстояние между точками, а значит, является движением. ■
Рассмотрим подгруппы группы движений.
1º. Параллельный перенос задается формулами вида:
где
то есть формулами .
Следовательно, матрица () является единичной. Но единичная матрица ортогональна и по теореме (2) параллельный перенос является движением. Группа параллельных переносов является подгруппой группы движений пространства Еn.
2º. Движение, оставляющее неподвижной некоторую точку S, называется вращением вокруг центра S. Вращение является частным случаем центроаффинного преобразования (§9). Его формулы имеют такой же вид, что и формулы центроаффинного преобразования, но матрица () ортогональна. Очевидно, вращение с данным центром S образуют подгруппу группы всех движений пространства Еn.
Как и в §9 указывается, что любое движение может быть представлено в виде композиции вращения и параллельного переноса.
Определение 3: Евклидовой геометрией называется наука, изучающая те свойства пространства Еn, которые не изменяются при любых движениях этого пространства.
Замечание 3: элементарная геометрия – это евклидова геометрия пространств Е2 и Е3. Так как движение является частным случаем аффинного преобразования, то любое свойство фигуры, сохраняющееся при любом аффинном преобразовании, будет сохраняться и при движении. Поэтому все свойства фигур, изучаемые в аффинной геометрии, изучаются также и в евклидовой геометрии. Однако евклидова геометрия значительно богаче по содержанию, чем аффинная геометрия, так как в ней рассматриваются метрические понятия, отсутствующие в аффинной геометрии.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 612 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!