![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1: Линейное отображение векторного пространства в себя называется линейным оператором:
1) , 2)
,
.
Определение 2: Линейный оператор евклидового векторного пространства
называется симметрическим, если
для
. (1)
То есть, символ симметрического оператора при скалярном умножении можно перенести одного вектора на другой.
если
- биекция
Теорема 1: симметрический линейный оператор в любом ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу.
□ Пусть симметрический линейный оператор имеет в ортонормированном базисе
матрицу
. Положим в формуле (1)
и
, тогда
(2)
Так как векторы также являются базисными и выражаются через вектора
с помощью матрицы
то имеем:
(3) - вследствие ортогональности базиса.
Аналогично получаем
(4)
Из равенств (2), (3), (4) следует, что для любых
, то есть матрица
- симметрическая. ■
Теорема 2(обратная): если линейный оператор хотя бы в одном ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу, то он является симметрическим.
□ Пусть в ортонормированном базисе матрица
линейного оператора
симметричная:
(5)
Тогда для получаем:
(6)
и (7)
Из равенств (5), (6), (7) следует, что , то есть оператор
- симметрический. ■
Теорема 3: характеристическое уравнение симметрического линейного оператора
может иметь только действительные корни
матрицы,
собственное значение вектора
□■
Следствие: любой симметрический линейный оператор имеет хотя бы одно собственное значение.
Замечание 2: согласно основной теореме алгебры любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень. В частности, характеристическое уравнение симметрического линейного оператора обладает этим свойством. По теореме 3 это число - действительное, оно является собственным значением данного оператора. Числа
, являются решениями векторного уравнения
, также действительны и представляют собой координаты собственного вектора
, соответствующего собственному значению
.
Теорема 4: собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие его различным собственным значениям, ортогональны между собой.
□ Пусть и
причем
. Так как
- симметрический линейный оператор, то
или
.
Так как , то
или
. ■
Теорема 5: для любого симметрического линейного оператора евклидова векторного пространства существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого оператора.
□ [5], с. 99-100, Т.2 (метод математической индукции).
Следствие: матрица симметрического линейного оператора с помощью соответствующего выбора ортонормированного базиса может быть приведена к диагональному виду; этот базис состоит из нормированных собственных векторов данного оператора.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 614 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!