![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Ordm;.
Определение 1: пусть - произвольная система векторов
. Определителем Грама этой системы векторов называется определитель m -го порядка вида:
(1)
Грам Йёрген (1850-1916) - датский математик. Определитель Грама обладает свойствами (доказаны в алгебре):
1) он всегда неотрицателен;
2) система векторов ,
, линейно независима тогда и только тогда, когда её определитель Грама положителен.
Замечание 1: из аналитической геометрии известно, что объем параллелепипеда, построенного на трёх неколлинеарных векторах равен произведению площади параллелограмма, построенного на векторах
, и длины перпендикуляра, опущенного из конца вектора
на плоскость векторов
.
Обобщим понятие объёма трехмерного параллелепипеда на случаи больших размерностей.
Как известно, в пространстве , параллелепипедом, построенным на m - линейно независимых векторах
, называется множество векторов вида
, где параметры
,
, независимо друг от друга изменяются на отрезке
. Назовём основанием этого параллелепипеда (m-1) - мерный параллелепипед натянутый на векторы
, а расстояние от конца вектора
до плоскости
, натянутой на векторы
, назовём высотой исходного параллелепипеда. «Объёмом» одномерного параллелепипеда
назовем длину вектора
. Для больших размерностей объём определим индуктивно, как объём основания, умноженной на высоту.
Теорема 1: квадрат объёма m-мерного параллелепипеда равен определителю Грама совокупности векторов :
(2)
□ Применим метод математической индукции по числу m векторов.
1) Для m=1 имеем: - утверждение теоремы справедливо.
2) Докажем что теорема имеет место для (m-1) векторов и докажем ёё справедливость для m векторов. Обозначим через ортогональную проекцию вектора
на ортогональное дополнение
к подпространству
, натянутому на векторы
. Эта проекция осуществляется параллельно подпространству
, поэтому
,
,
причём (3)
Прибавим к последнему столбцу определителя Грама (1) предшествующие столбцы, соответственно умноженные на коэффициенты . Так как скалярное произведение линейно по второму аргументу, то получим в последнем столбце числа
, причём первые (m-1) из них равны нулю (
- ортогональная проекция на
). Последний элемент последнего столбца равен
.
Длина вектора равна высоте параллелепипеда, поэтому
(4)
Согласно индуктивному предположению определитель Грама из правой части равенства (4) есть квадрат объёма основания. Следовательно:
и теорема доказана. ■
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 1257 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!