![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1: подобием пространства Еп называется его аффинное преобразование, при котором все расстояния между точками умножаются на одно и то же положительное число k, называемое коэффициентом подобия.
Определение 2: фигура F1 называется подобной фигуре F2, если существует подобие, отображающее F1 на F2.
Пример: любое движение является подобием с коэффициентом k=1.
Теорема 1: гомотетия с коэффициентом k ≠ 0 является подобием с коэффициентом |k|.
□ Гомотетия с центром S(Si) и коэффициентом k задается в аффинной, в частности, прямоугольной декартовой системе координат формулами вида:
(1) (см. §9)
Пусть точки M(xi) и N(yi) отображаются при гомотетии соответственно на точки M'(xi) и N'(yi). Так как , то по формуле расстояния между точками получаем:
■
Теорема 2: множество подобий пространства Еп является группой.
□ 1) Пусть и
- подобия с коэффициентами k1 и k2. Так как это аффинное преобразование, то и их композиция
- аффинное преобразование. При подобии
все расстояния умножаются на коэффициент k1, а при подобии
все расстояния умножаются на k2, тогда при
все расстояния умножаются на
.
Значит, - подобие с коэффициентом k1∙k2.
2) Пусть - подобие с коэффициентом k. Так как это аффинное преобразование, то и
- аффинное преобразование. При
все расстояния умножаются на число k, при
они умножаются на число
, поэтому
является подобием. ■
Теорема 3: всякое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии (с тем же коэффициентом и любым центром) и некоторого движения.
□ Пусть - подобие с коэффициентом k, а g – гомотетия с этим же коэффициентом. Тогда
- гомотетия с коэффициентом
. Преобразование
(2), является композицией подобия с коэффициентами k и
, есть подобие с коэффициентом k ∙
=1, то есть движение. Но тогда получаем из формулы (2):
и требуемое доказано. ■
Следующие три теоремы выражают свойства подобий.
Теорема 4: при подобии с коэффициентом k длины всех векторов умножаются на число k, а все скалярные произведения векторов на k2.
□ Воспользуемся теоремой (3): . Так как векторное преобразование, ассоциирование с движением t, является ортогональным, то оно не меняет длин и скалярных произведений векторов (см. §10).
Векторное произведение, ассоциированное с гомотетией g, имеет вид: , тогда при нем все длины векторов умножаются на k, а все скалярные произведения на k2.
,
. ■
Теорема 5: подобие не изменяет углы между векторами.
□ Пусть , тогда
Так как по определению угла между векторами и
, то
. ■
Теорема 6: подобие с коэффициентом k задается в прямоугольной декартовой системе координат формулами вида: , (3) где
, а матрица (
) ортогональна.
□ Согласно теореме (3) данное подобие представимо в виде композиции гомотетии центром в начале координат и коэффициентом k:
(4)
и некоторого движения: (5)
Подставляя значения (4) в (5), получаем (3). ■
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 355 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!