Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Группа подобий евклидова пространства



Определение 1: подобием пространства Еп называется его аффинное преобразование, при котором все расстояния между точками умножаются на одно и то же положительное число k, называемое коэффициентом подобия.

Определение 2: фигура F1 называется подобной фигуре F2, если существует подобие, отображающее F1 на F2.

Пример: любое движение является подобием с коэффициентом k=1.

Теорема 1: гомотетия с коэффициентом k ≠ 0 является подобием с коэффициентом |k|.

□ Гомотетия с центром S(Si) и коэффициентом k задается в аффинной, в частности, прямоугольной декартовой системе координат формулами вида:

(1) (см. §9)

Пусть точки M(xi) и N(yi) отображаются при гомотетии соответственно на точки M'(xi) и N'(yi). Так как , то по формуле расстояния между точками получаем:

Теорема 2: множество подобий пространства Еп является группой.

□ 1) Пусть и - подобия с коэффициентами k1 и k2. Так как это аффинное преобразование, то и их композиция - аффинное преобразование. При подобии все расстояния умножаются на коэффициент k1, а при подобии все расстояния умножаются на k2, тогда при все расстояния умножаются на .

Значит, - подобие с коэффициентом k1∙k2.

2) Пусть - подобие с коэффициентом k. Так как это аффинное преобразование, то и - аффинное преобразование. При все расстояния умножаются на число k, при они умножаются на число , поэтому является подобием. ■

Теорема 3: всякое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии (с тем же коэффициентом и любым центром) и некоторого движения.

□ Пусть - подобие с коэффициентом k, а g – гомотетия с этим же коэффициентом. Тогда - гомотетия с коэффициентом . Преобразование (2), является композицией подобия с коэффициентами k и , есть подобие с коэффициентом k =1, то есть движение. Но тогда получаем из формулы (2): и требуемое доказано. ■

Следующие три теоремы выражают свойства подобий.

Теорема 4: при подобии с коэффициентом k длины всех векторов умножаются на число k, а все скалярные произведения векторов на k2.

□ Воспользуемся теоремой (3): . Так как векторное преобразование, ассоциирование с движением t, является ортогональным, то оно не меняет длин и скалярных произведений векторов (см. §10).

Векторное произведение, ассоциированное с гомотетией g, имеет вид: , тогда при нем все длины векторов умножаются на k, а все скалярные произведения на k2.

, . ■

Теорема 5: подобие не изменяет углы между векторами.

□ Пусть , тогда

Так как по определению угла между векторами и , то . ■

Теорема 6: подобие с коэффициентом k задается в прямоугольной декартовой системе координат формулами вида: , (3) где , а матрица () ортогональна.

□ Согласно теореме (3) данное подобие представимо в виде композиции гомотетии центром в начале координат и коэффициентом k:

(4)

и некоторого движения: (5)

Подставляя значения (4) в (5), получаем (3). ■





Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 355 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...