![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1: аффинное пространство называется евклидовым точечным или просто евклидовым пространством, если связанное с ним пространство
является евклидовым векторным пространством и обозначается
.
Замечание 1: точки и векторы являются основными объектами пространства , а операции над ними называются основными или неопределяемыми отношениями. Природа основных объектов может быть любой, требуется лишь, чтобы основные отношения удовлетворяли аксиомам всех пяти групп. Все другие объекты и отношения определяются через основные, а при доказательствах теорем используются лишь аксиомы и ранее доказанные их следствия. Все определения и теоремы, сформулированные для пространства
верны и для пространства
.
Определение 2: аффинная система координат в пространстве называется прямоугольной декартовой, если её координатные векторы
,
, образуют ортонормированный базис, связанного с ним евклидова векторного пространства
.
Теорема 1: при переходе от одной из двух прямоугольных декартовых систем координат к другой координаты произвольной точки в старой системе выражаются через её координаты
в новой системе координат формулами:
(1)
где (то есть матрицы ортогональны).
Эта теорема следует из теоремы (2) §2 и теоремы (3) §10, коэффициенты и
имеют прежний геометрический смысл.
Пример 2: n=2, – евклидово пространство, формулы перехода известны из аналитической геометрии и являются частным случаем формул (1):
,
,
=
.
Определение 3: расстоянием от точки до точки
пространства
называется длина вектора
и обозначается
.
Пусть ,
в одной из прямоугольных декартовых систем координат
, тогда, очевидно:
Теорема 2: для любых трёх точек ,
и
справедливо неравенство треугольника:
(2)
□ По аксиоме треугольника из параграфа §1 имеем: или
.
Так как (при
это очевидно, а при
следует из неравенства Коши – Буняковского, замечание (1), §10), то
,
,
то есть
. ■
Замечание 2: очевидно, если совпадает с
или
, то в формуле (2) имеет место знак равенства. Если же
не совпадает ни с
, ни с
, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда
лежит на прямой
между точками
и
.
Определение 4: множество точек пространства , расстояния от которых до данной точки
равны
, называется гиперсферой с центром
и радиусом
.
Если , а
- точка гиперсферы, то имеем
и
(3)
Определение 5: множество точек пространства , расстояния от которых до данной точки
не превышает
, называется n – мерным шаром. Очевидно, n – мерный шар задаётся в пространстве
неравенством:
(4)
Примеры (частные случаи):
1) n = 1,
- прямая,
пара точек отрезок длины
2) n = 2, E - плоскость:
(x - c
)
+ (x
- c
)
= R
- окружность (x
- c
)
+ (x
- c
)
R
- круг
3) n=3, E :
- сфера
- шар
Определение 6: r-мерный параллелепипед пространства E называется r-мерный кубом, если он натянут на точку А и единичные попарно ортогональные векторы:
= t
+ t
+…+ t
, 1
r
n,
0 t
1, i =1,2,3,…r,
M
E
,
=1,
, i
j.
Примеры (частные случаи):
1) r =1 - отрезок длины 1:
A B AB=1
2) r = 2 - квадрат со стороной 1:
.
3) r =8 – куб с ребром 1:
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 889 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!