Ordm; Плоскость как аффинное пространство

Роль точки в определении многомерной плоскости может играть любая другая точка этой плоскости.

Теорема 1: если плоскость натянута на точку и подпространство , то она также натянута на это подпространство и любую другую свою точку .

□ Обозначим через плоскость натянутую на и . Требуется доказать, что , то есть что всякая точка, принадлежащая одной плоскости, принадлежит также и другой.

1) Пусть , тогда . Так как , то и . По аксиоме треугольника II имеем:

, то есть .

2) Обратно, пусть , тогда . Так как , то , то есть . ■

Теорема 2: всякая r – мерная плоскость является r – мерным аффинным пространством.

□ Пусть - плоскость, натянутая в пространстве на точку и подпространство . Выберем в две произвольные точки и , тогда и , следовательно: .

Таким образом, каждой упорядоченной паре точек и плоскости соответствует определенный вектор ее направляющего подпространства . Из определения r – мерной плоскости и теоремы (1) следует, что для выполняется аксиома I. Аксиома треугольника II, является справедливой для любых точек пространства , выполняется в частности и для плоскости . ■

§4. Способы задания многомерной плоскости