Многомерные плоскости

Пусть – произвольная точка аффинного пространства , а - некоторое подпространство векторного пространства , связанного с (подпространство есть множество векторов, само являющееся пространством относительно заданных на исходном пространстве операций).

Определение 1: множество точек полученных при откладывании от точки

всех векторов подпространства называется r-мерной плоскостью, натянутой на точку и подпространство и обозначается . Подпространство называется направляющим подпространством плоскости .

Выберем в подпространстве какой – либо базис , и будем говорить, что плоскость натянута на точку и векторы . Тогда плоскость можно определить как множество таких точек , что

, (1)

где коэффициенты (параметры) принимают независимо друг от друга всевозможные действительные значения.

Замечание 1: при подпространство - состоит только из нулевого вектора, а плоскость - только из точки . Поэтому любую точку будем рассматривать как нуль - мерную плоскостью

Определение 2: при имеем одномерную плоскость, которую назовем прямой и обозначим . При получим - мерную плоскость, назовем ее гиперплоскостью и обозначим .

Замечание 2: если , то получаем базис всего векторного пространства , поэтому все пространство можно считать n-мерной плоскостью.

Пример: , для пространства введенные выше по определению понятия уже знакомы из школьного курса геометрии (они были там основными, неопределяемыми).

При прямая задается уравнением:

,

При двумерная плоскость , являющаяся гиперплоскостью пространства (в школе она называлась просто плоскостью), задается уравнением:

, .

Определение 3: Множество точек из таких, что равенство (1) выполняется при , называется r – мерным параллелепипедом, натянутым на точку и векторы .

Определение 4: одномерный параллелепипед называется отрезком и задается уравнением:

, .

Точки и , получаемые соответственно при и при , называются концами отрезка.

Если , то получаются внутренние точки отрезка .

Точка , получаемая при , называется серединой отрезка , а точки и называются симметричными относительно .

Определение 5: число такое что , называется отношением, в котором точка делит отрезок .

Для этого рисунка: .