Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Изоморфизм аффинных пространств



Пусть имеется отображение аффинного пространства на аффинное пространство , при котором для точек M, N An = (M), = (N), причем – некоторое отображение векторного пространства на векторное пространство : : .

Определение 1: отображение называется ассоциированным с отображением , если при любом выборе точек M и N оно отображает вектор на вектор :

= ().

Определение 2: взаимно однозначное отображение аффинного пространства An на аффинное пространство называется изоморфизмом, если существует ассоциированное с ним изоморфное отображение пространства на пространство (оно биективно и ( + )= ()+ (), (k ) = k () – линейно).

Определение 3: аффинные пространства An и называются изоморфными, если существует изоморфное отображение одного из них на другое: () = или .

Теорема (Признак изоморфизма аффинных пространств): для того, чтобы два аффинных пространства и были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы их размерности были одинаковыми.

Необходимость. Пусть пространства и изоморфны, тогда по определению (2) связанные с ними векторные пространства также изоморфны и поэтому имеют одинаковые размерности; но тогда совпадают и размерности пространств An и , то есть n = m.

Достаточность. Пусть аффинные пространства и имеют одну и ту же размерность n, докажем, что они изоморфны.

Введем в этих пространствах аффинные системы координат и устроим биективное отображение пространства An на пространство следующим образом: M(xi) An (xi) xi = , (i = 1, 2, …, n).

Покажем, что отображение есть изоморфизм.

Рассмотрим отображение пространств и , связанных с An и , при котором соответствующими считаются векторы, которые имеют во введенных аффинных системах одинаковые координаты. Это отображение является ассоциированным с отображением . Действительно, пусть образами точек M(xi) и N(yi) при отображении являются соответственно точки () и (). Так как xi = и yi = , то имеем: =(yi - xi)=( - )= то есть вектор является образом вектора при отображении .

Докажем, что - изоморфное отображение на . Так как оно биективно, то достаточно убедиться в его линейности.

Пусть , , тогда , , a так как и , то , следовательно, вектор является образом вектора при .

Аналогично, образом вектора является вектор . Итак, отображение : - изоморфизм. Согласно определениям (2) и (3) пространства и изоморфизмы. ■





Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 699 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...