Ordm;. Переход к новой системе координат

Рассмотрим в пространстве A_n две аффинные системы координат: старую и новою

Пусть (3), то есть , а новые координатные векторы выражаются через старые по формулам:

причем, так как векторы базиса линейно независимы, то (5).

Теорема 2: если начало новой аффинной системы координат и старые и новые координатные векторы связаны соотношениями (3) и (4) при условии (5), то координаты произвольной точки M в старой системе координат выражается через ее координаты в новой системе координат по формулам.

, то есть

, при условии (6)

По условию имеем:

По аксиоме треугольника II имеем:

(10)

Подставим в (10) выражения из (3), (4), (8) и (7), получим следующее равенство:

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

(11)

Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то коэффициенты при одинаковых векторах в левой и правой частях равенства (11) равны, следовательно, справедливы формулы (6), условие (5) также выполняется. ■

Определение 3: формулы (6) наз. формулами преобразования координат точки при переходе к новой АСК.

Замечание 2: как известно из курса алгебры, формулы преобразования координат вектора при переходе к новому базису имеют вид:

,

то есть:

(12)

где и .

Упражнение: в пространстве даны пять точек: , , , , . Записать формулы преобразования координат точек, положив:

, , , , .